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Orthogonale Projektion R^4 Erklärung/Beispiel

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Tags: eben, Orthogonal Projektion, R4

Lawliet aktiv_icon

18:38 Uhr, 28.01.2018

Hallo,

ich verzweifle langsam an meiner Aufgabe, deshalb bitte ich um eine Erklärung bzgl der orthogonalen Projektion auf eine Ebene im

ℝ^{4}

E =

Lin(

v_{1}, v_{2})

sei die von

v_{1}

und

v_{2}

aufgespannte Ebene. Ich soll nun für

x \in ℝ^{4}

den Bildvektor

π_{E} (x)

unter der Orthogonalen Projektion auf

E

bestimmen.
Bei

v_{1}

und

v_{2}

handelt es sich um folgende Vektoren:

v_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

und

v_{2} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

.

Eine Lösung der Aufgabe ist nicht zwingend nötig, wenn ich ein anschauliches bzw vergleichbares Beispiel kriegen könnte..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:17 Uhr, 28.01.2018

Hallo,

ergänze die beiden die Ebene aufspannenden Vektoren zu einer Basis, wobei die noch fehlenden beiden Basisvektoren senkrecht auf den beiden Ebenenvektoren stehen sollten. Alternativ (führt aber im Wesentlichen auf genau dieses Ergebnis): finde eine Orthogonalbasis mit den entsprechenden Eigenschaften (erst einmal beliebig ergänzen, dann schmidtsches ONV).

Dann müsstest du für einen Punkt des Raumes die Kordinatendarstellung bzgl. der oben gefundenen Basis darstellen (Basiswechsel, geht mit Matrizenmultiplikation). Von dieser Darstellung änderst du die beiden letzten Komponenten zu Null (Punkt der Ebene) und rechnest wieder zurück in die Standardbasis.

Mfg Michael

Lawliet aktiv_icon

19:26 Uhr, 28.01.2018

Hallo,

eine Orthonormalbasis habe ich bereits bestimmt.
Also trifft nun ja nur noch der zweite Teil zu, ich verstehe im Prinzip was du meinst, aber kannst du mir das anschaulich irgendwie zeigen?

Lawliet aktiv_icon

19:53 Uhr, 28.01.2018

Hab ich jetzt einfach mal versucht zu befolgen:

Meine Orthonormalbasis ist:

v_{1} = {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}^{T}, v_{2} = {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})}^{T}, v_{3} = {(\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0)}^{T}

und

v_{4} = {(0, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})}^{T},

danach das alles in eine Matrix geschrieben und mit dem Vektor

{(1,1,0,1)}^{T}

multipliziert:
kam dann auf

{(1,1, - \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})}^{T} \Rightarrow {(1,1,0,0)}^{T}

wieder mit der Matrix multipliziert und es blieb bei

{(1,1,0,0)}^{T}

ledum aktiv_icon

12:21 Uhr, 29.01.2018

Hallo
ich verstehe nicht, was du machst? du willst doch das bild eines Vektors

\vec{x}

was hat das mit

(1,1,0,1)

zu tun?
Gruß ledum

Lawliet aktiv_icon

12:58 Uhr, 29.01.2018

Ich sollte das ja für ein Vektor des Raumes durchführen und ich dachte er dürfte beliebig sein, also hab ich einfach

{(1,1,0,1)}^{T}

gewählt.
Hab ich dann ja anscheinend falsch verstanden..

pwmeyer aktiv_icon

18:37 Uhr, 29.01.2018

Hallo,

ich könnte mir gut vorstellen, dass Du im Hinblick auf Verallgemeinerungen einen anderen Lösungsweg benutzen sollst:

Zu

x

wird

v \in E

gesucht, so dass

x - v ⊥ E \Leftrightarrow x - v ⊥ v_{1}, v_{2}

.

Das führt auf ein

2 \times 2

Gleichungssystem für die Koeffizienten von

v = s_{1} \cdot v_{1} + s_{2} \cdot v_{2}

.

Wahrscheinlich sollst Du weiter bemerken, dass

v_{1}

und

v_{2}

senkrecht sind, was die Sache kollossal vereinfacht.

Gruß pwm

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