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Orthogonalität von Vektoren, Geraden und Ebenen
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Hey Leute
 
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Ich benötige Hilfe bei einer Aufgabe, kann mir das bitte jemand ausführlich erklären. Beschreiben Sie möglichst anschaulich, wann zwei Vektoren, wann zwei Geraden, wann eine Gerade und eine Ebene und wann zwei Ebenen zueinander orthogonal heißen. Erläutern Sie dazu insbesondere die Begriffe Richtungsvektor, Spannvektor und Normalvektor. Könnt ihr mir auch ein paar Beispiele geben wie ich das am besten veranschaulichen kann. Danke im Voraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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beginnen wir mit den zwei Vektoren. Es gibt es ein Produkt, das verschwindet, wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander sind. Irgend eine Idee? ;-) |
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Also ich habe herausgefunden, dass zwei Vektoren Orthogonal senkrecht zueinander sind, wenn das Produkt gleich null ist. |
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Welches "Produkt"? Es gibt bei den Vektoren zwei davon. ;-) |
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das Skalarprodukt |
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ok. jetzt zu den zwei orthogonalen Geraden. Was muss gelten, wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen sollen? ;-) |
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Das weiß ich ja eben nicht, deshalb hab ich euch ja gefragt. Denn dies hatte ich noch gar nicht im unterricht bearbeitet |
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aus was besteht denn eine Geradengleichung im Raum ? |
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Aus einem Stützvektor und einem Richtungsvektor |
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super :-) Du hast also bei zwei verschiedenen Geraden in der Regel zwei verschiedene Richtungsvektoren ok? |
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ok gut so weit hab ich es verstanden |
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was sollte also für diese beiden Richtungsvektoren gelten, wenn die zwei (zu diesen Richtungsvektoren passenden) Geraden senkrecht zueinander stehen sollen? |
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Wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich null ist? |
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ja, das ist die erste Bedingung für die Orthogonalität zweier Geraden. kannst Du Dir dies räumlich vorstellen? |
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ne nicht wirklich |
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Dir ist aber klar, dass jede Gerade im aus einem Stützvektor (dieser geht immer vom Ursprung aus und ist deshalb der "Ortsvektor" des Stützpunktes) und einem Richtungsvektor (kein Ortsvektor sondern ein sogenannter "freier" Vektor) mit Parameter (zB. oder gebildet wird. |
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ja ist mir klar |
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Was folgt nun daraus, wenn das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren verschwindet ? |
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Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren muss ergeben weiter weiß ich nicht tut mir leid |
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ja. Wenn das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren verschwindet (oder auch: wenn deren Skalarprodukt ist) sind die beiden Richtungsvektoren senkrecht zueinander. Ist Dir dieser Satz klar? |
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mit verschwindet meinst du doch das es null ist oder? |
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ja hab es dann verstanden |
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gut. Damit nun die beiden Geraden wirklich "senkrecht aufeinander stehen" muss zusätzlich noch etwas anderes gelten. Kannst Du Dir vorstellen was? Nimm doch mal zB. je einen Bleistift in jede Hand. Diese zwei Bleistifte sollen die beiden auf Orthogonalität zu prüfenden Geraden im Raum sein. Verschiebe und drehe sie so lange gegeneinander bis sie senkrecht aufeinander stehen. ;-) |
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okay hab ich gemacht. Meinst du vielleicht das die Geraden sich zu grad schneiden? |
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ja, genau :-) Damit die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen müssen Sie sich "schneiden". Die beiden Geraden haben also einen Punkt gemeinsam (ihren gemeinsamen Schnittpunkt). Wenn zusätzlich das Skalarprodukt der beiden zugehörigen Richtungsvektoren 0 ist, dann . (beende bitte den Satz selber) ;-) |
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Dann schneiden sich die geraden zu grad, somit besitzen sie einen gemeinsamen punkt. ist das richtig?? |
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fast. Eigentlich erwartete ich: "dann stehen sie senkrecht aufeinander" oder "dann sind sie orthogonal zueinander" aber ich glaube, das ist jetzt wirkich bei Dir angekommen, oder? Bitte schreib jetzt nochmal in eigenen Worten die beiden Kriterien für die Orthogonalität zweier Geraden im auf, damit ich erkennen kann, ob Du dies wirklich verstanden hast. |
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ohh man, aber verstanden hab ich es. Also Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ist. Aber damit sie senkrecht aufeinander stehen müssen sie sich schneiden und somit einen gemeinsamen punkt besitzen. |
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ok, das kann man als richtig gelten lassen :-) jetzt noch zu den Ebenen. Lege bitte einen Bleistift auf deinen Schreibtisch. Stell Dir vor, dass deine Tischplatte die betrachtete Ebene im darstellt. Der darauf liegende Bleistift stellt dann welchen Vektor dieser Ebene dar? |
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Den Normalvektor |
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Du hast Deine Antwort verändert, während ich geantwortet habe! Deine erste Antwort war: "Stützvektor". das gilt aber nur in dem sehr speziellen Fall, falls der Koordinaten-Ursprung zufällig in dieser Tisch-Ebene enthalten ist. (Wenn der Ursprung also Element der Ebene ist.) Nimm nun an, dass der Ursprung ausserhalb der Tischplatte (zB. irgendwo am Fußboden) ist. Wie heist nun der Vektor, welcher dem auf dem Tisch liegenden Bleistift entspricht? |
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Normalvektor |
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Bitte merk Dir: - "normal" heist so viel wie "senkrecht" - deshalb entspricht der "Normalenvektor" einem Bleistift der senkrecht auf der Tisch-Ebene steht! Versuch es bitte nochmal ;-) |
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wäre es dann auch ein Richtungsvektor? |
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"Richtungsvektor" gehört eigentlich zu den Geraden im . Aber es wir schon wärmer . probier es nochmal ;-) |
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oh man tut mir wirklich leid du bemühst dich wirklich mir zu helfen, aber ich weiß nicht was für ein vektor das wäre |
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Oben in Deiner Aufgabe steht er. Stell Dir vor, dass es einer der beiden Vektoren ist, welche die Ebene "aufspannen". |
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ahhh ich hab es auch eben gelesen du meinst den Spannvektor. |
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Bingo. Was muss nun gelten, wenn eine Gerade senkrecht zur Tisch-Ebene sein soll? ich habe nur noch ca. Minuten zeit, dann bin ich weg . |
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wenn du keine zeit hast kannst du ruhig gehen. Das du mir so viel geholfen hast und dich bemüht hast dafür bin ich dir dankbar. |
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Hallo, da bisher niemand weitergeholfen hat, mach ich mal weiter. Im Bild unten siehst Du den Normalenvektor und die beiden Spannvektoren und einer Ebene (Der Stützvektor (vom Ursprung bis zum Schnittpunkt der Spannvektoren) fehlt in dieser Abblidung, denn für die Betrachtung einer (hier nicht dargestellten) Geraden, die senkrecht zur Ebene steht, brauchen wir den Stützvektor nicht.) Betrachte nun den Normalenvektor . und vergleiche ihn mit dem (gedachten) Richtungsvektor einer (gedachten) Geraden, die senkrecht zur Ebene stehen soll. Was fällt Dir dabei auf?  |
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schneiden die sich dann auch wieder, und bilden auch einen rechtenwinkel |
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ok, ich interpretiere Deine Antwort so, dass der Richtungsvektor der Geraden ebenfalls einen rechten Winkel mit der Ebene bildet, falls die (gedachte) Gerade senkrecht auf der Ebene steht. Dies ist richtig. Ich bat Dich aber, den Richtungsvektor mit dem Normalenvektor der Geraden zu vergleichen und hoffte auf den Antwortsatz: "Die beiden Vektoren und sind . . . zueinander" Bitte setze das richtige Wort ein. ;-) |
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Die Vektoren sind parallel zueinander? |
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Bingo :-) Damit kannst Du also jetzt auch die Frage von ganz oben: "wann eine Gerade und eine Ebene" senkrecht zu einander stehen beantworten . ;-) Klar? |
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Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn ihr Richtungsvektor parallel zum Normalvektor der Ebene steht. |
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genau so ist es :-) Es fehlt jetzt nur noch die Bedingumng "wann zwei Ebenen zueinander orthogonal heißen" von ganz oben. Betrachte dazu am besten ihre beiden Normelenvektoren . . . ;-) |
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Also die Normalenvektoren stehen senkrecht aufeinander, also sind sie orthogonal? |
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genau :-) Denn wenn die Normalenvektoren aufeinander senkrecht stehen, dann sind auch Ihre Ebenen orthogonal zueinander. Jetzt sind alle Fragen Deiner obigen Aufgabe "Beschreiben Sie möglichst anschaulich, wann zwei Vektoren, wann zwei Geraden, wann eine Gerade und eine Ebene und wann zwei Ebenen zueinander orthogonal heißen. Erläutern Sie dazu insbesondere die Begriffe Richtungsvektor, Spannvektor und Normalvektor." geklärt. ;-) |
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ja endlich, vielen Lieben Dank. Du hast mir sehr geholfen. :-) |
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