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Orthogonalmatrix invertierbar
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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Warum ist eine Orthogonalmatrix immer invertierbar? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Dies gilt nach Definition einer orthogonalen Matrix. Das Inverse der Matrix ist gerade die transponierte Matrix. Gruß PhantomV |
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Die Definition von orthogonalen Matrizen nach Wikipedia: Eine orthogonale Matrix ist in der linearen Algebra eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre Transponierte. Die Definition ist nicht, dass die Inverse gleichzeitig die Transponierte ist, sondern das folgt aus der Definition. Die Defintion einer orthogonalen Matrix ist dass die Zeilen und Spalten zu einandner paarweise orthonormal sind. Deshalb meine Frage: Warum folgt daraus, dass es invertierbar ist? |
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Hallo weil man eben direkt aus der Orthogonalität fesstellen (nachrechnen) kann dass die Transponierte die Inverse ist. Gruss ledum |
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Hi, zunächst einmal: Wikipedia ist keine wissenschaftliche Quelle und ersetzt kein Fachbuch. Die Definition ist nämlich zumindest ungenau (und recht ungewöhnlich... das paarweise wundert mich). Dann: es gibt häufig für dasselbe mathematische Objekt unterschiedliche Definitionen. Man hat kein Problem, solange diese Definitionen äquivalent sind. Die Wikipediaquelle besagt nämlich: Def. 1: Sei mit den Spaltenvekotren , so dass , für alle . Dann heißt orthogonal. Def. 2: Sei , so dass , dann heißt orthogonal. Jetzt muss man zeigen, dass wenn Def.1 erfüllt auch erfüllt (womit auch die Invertierbarkeit gezeigt und deine Frage beantwortet wäre) und dass wenn durch erfüllt wird auch erfüllt ist. Ich möchte nicht auf alle Details eingehen, aber wenn Def. 1 erfüllt, dann folgt aus der Gleichung: dass die Spaltenvektoren linear-unabhängig sind. Damit hat die Matrix Spaltenrang und da Zeilenrang = Spaltenrang, sind sowohl Spalten- als auch Zeilenrang voll und A ist somit auch invertierbar (das sind Sätze aus der LinA 1). Dass nun ist, ist eine Fleißaufgabe und folgt aus den Regeln der Matrixmultiplikation. Nach denselben Regeln folgt auch, dass wenn Def. 2 erfüllt, sie auch erfüllt. Damit sind die Definitionen äquivalent. Beste Grüße Sina |
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Danke für die ausführliche Antwort |
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Wie zeige ich denn mit Hilfe dieser Definition, dass Denn meine Aufgabe ist: Zeige: Ist A orthogonal, so ist A invertierterbar, und ist orthogonal. Eigentlich habe ich versucht folgendes zu zeigen: |
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