 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Orthogonalprojektion zeigen + Kern u. Bild
Orthogonalprojektion zeigen + Kern u. Bild
Universität / Fachhochschule
Skalarprodukte
Vektorräume
Tags: Bild, Kern, Orthogonal Projektion, Skalarprodukt, Vektorraum
 
|
  |
|---|
|
Hallo, Ich komme bei folgender Aufgabe nicht zu recht und bräuchte deshalb Hilfe. Meine Aufgabe lautet: Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt (·,·) und ∈ mit . Zeigen Sie, dass → → eine Orthogonalprojektion ist, und bestimmen Sie Kern(f) und Bild(f). Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe. MfG Eryc |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, wie sind bei euch denn Orthogonalprojektionen definiert? Muss nur gelten? Mfg Michael |
 |
|
Orthogonalprojektionen sind selbstadjungierte Projektionen bei denen äquivalent gilt, Orthogonalprojektion Kern(f) ⊥ Bild(f) also wenn gilt für alle ∈ Kern(f) und ∈ Bild(f). Zusätzlich gilt bei selbstadjungierten Projektionen: und Ich weiß bisher nicht aus Vorlesungen davon dass ⊥ gelten muss aber vielleicht haben wir das auch einfach nur anders beschriftet und ich erkenne es nicht. |
|
|
|
Kann mir niemand helfen? |
|
|
|
"Orthogonalprojektionen sind selbstadjungierte Projektionen bei denen äquivalent gilt, Orthogonalprojektion ⇔ Kern(f) ⊥ Bild(f) also wenn gilt (v,w)=0 für alle v ∈ Kern(f) und w ∈ Bild(f). Zusätzlich gilt bei selbstadjungierten Projektionen: β(f(v),w)=β(v,g(w)) und β(v,f(w))=β(g(v),w)" Und wie soll man das verstehen? Oben steht: "Orthogonalprojektionen sind selbstadjungierte Projektionen". Unten steht "Zusätzlich gilt bei selbstadjungierten Projektionen" Wie zusätzlich? :-O Die sind doch immer selbstadjungiert, hast du selbst geschrieben. Im Übrigen, ist die Definition in Wikipedia zu lesen: Eine Orthogonalprojektion auf einen Untervektorraum eines Vektorraums ist eine lineare Abbildung , die für alle Vektoren die beiden Eigenschaften hat (Projektion) für alle (Orthogonalität) Ich habe in 30 Jahren die ich mich damit beschäftige keine andere Definition gesehen. Aber wer weiß, vielleicht war euer Dozent kreativ. Dann musst du aber die Definition aufschreiben, die ihr hattet. Was du geschrieben hast, ist keine Definition. |
|
|
|
Tut mir Leid ich hatte das ganze falsch verstanden. Also ja die Orthogonalprojektion ist wie sie beschrieben haben eine eindeutig bestimmte lineare Abbildungen mit folgenden Eigenschaften: Für alle ∈ Kern(f) und ∈ Bild(f) gilt (Also die Orthogonalität) ◦ Projektion) Wie zeige ich nun die Eigenschaften und bestimmte den Kern und das Bild? |
|
|
|
Kern besteht aus allen , so dass . Da , muss dabei gelten. Also Kern(f)=, der zu dem Raum orthogonale Raum. Bild ist natürlich , also der eindimensionale Raum (falls es um reelle Räume geht, sonst muss hier durch einen anderen Körper ersetzt werden). Da ist offensichtlich, denn ist von der Form . So, dann . Prüfen: , wo ich die Linearität von benutzt habe und dass . Es bleibt zu zeigen, dass , => . Aber da , ist es sofort klar. Das ist alles. Jetzt kannst du dich fragen, warum du das selbst nicht geschafft hast. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1535705
1535574