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Orthogonalraum bestimmen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

anonymous

13:33 Uhr, 03.04.2018

Hallo , ich habe folgende Situation , gegeben ist ein Unterraum

V

des

ℝ^{3}

beschrieben durch : V = {(x,x,y)|x,y

\in ℝ

}.
Nun soll ich den Orthogonalraum

V^{⊥}

bestimmen , sowie eine Basis und die Dimension von V und

V^{⊥}

.

Der Orthogonalraum

V^{⊥}

ist ja ein Vektorraum wo jeder Vektor senkrecht zu den Vektoren aus V ist.
Heißt das , da V ein Unterraum von

ℝ^{3}

muss ich nur 3 linear unabhängige Vektoren finden , die senkrecht zu Vektoren aus V sind ?

Und die Sache mit der Dimension verstehe ich nicht ganz , wenn V ein Unterraum von

ℝ^{3}

ist heißt das ja seine Dimension ist maximal 3 wenn es

ℝ^{3}

selbst ist oder weniger als 3 wenn es tatsächlich ein Unterraum von

ℝ^{3}

ist.
Aber wie finde ich die Dimension heraus ? ich weiß wenn ich eine Matrix hätte könnte ich deren Rang bestimmen aber hier liegt ja keine vor.Muss ich also ausprobieren , wieviele linear unabhängige Vektoren ich per Linearkombination verbinden kann bis es eine Abhängigkeit gibt sodass ich sagen kann "ohne diesen Vektor sind es

n

linear unabhängige Vektoren also ist die Dimension von V =

n

?"

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

13:45 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

"Der Orthogonalraum V^⊥ ist ja ein Vektorraum wo jeder Vektor senkrecht zu den Vektoren aus

V

ist.
Heißt das , da

V

ein Unterraum von

ℝ^{3}

muss ich nur 3 linear unabhängige Vektoren finden , die senkrecht zu Vektoren aus

V

sind ?"

Das wird Dir nicht gelingen! Denke doch selber mal nach!

ℝ^{3}

ist ein dreidimensionaler Raum.

V

ist ein Teilraum, also hat

V

maximal die Dimension 3 und minimal die Dimension

1,

wenn es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor in

V

gibt. Gibt es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor in V? Dann gilt dass

dim V + dim

V^⊥

= dim ℝ^{3}

ist. Wenn also

dim V \geq 1

ist, dann muss dim V^⊥

\leq 2

sein. Und somit wirst Du maximal 2 verschiedene Vektoren finden, die linear unabhängig sind und orthogonal auf

V

stehen! Aber niemals 3 Vektoren!

"Aber wie finde ich die Dimension heraus ?"

Du sollst doch eine Basis von

V

ermitteln. Dass die Dimension gleich der Anzahl der Basisvektoren ist, sollte Dir eigentlich klar sein. Und hier musst Du dann maximal noch bis 3 zählen können, um die Dimension zu bestimmen!

"Muss ich also ausprobieren , wieviele linear unabhängige Vektoren ich per Linearkombination verbinden kann bis es eine Abhängigkeit gibt sodass ..."

Schau Dir die Definition von

V

genau an! Wie viele voneinader unabhängige Elemente hat denn ein Vektor aus V? Wie kannst Du einen Vektor aus

V

in mehrere unabhängige, möglichst einfache Vektoren zerlegen? Das ist die einzige Aufgabe, bei der Du mal etwas nachdenken musst! Zerlege

(\begin{matrix} x \\ x \\ y \end{matrix})

in eine Linearkombination mit zwei einfachen konstanten Vektoren!

anonymous

13:55 Uhr, 03.04.2018

Ein Vektor aus V hat 2 unabhängige Komponenten wie du sie nennst , x und y.Meinst du mit "Zerlege ... in eine Linearkombination mit zwei einfachen konstanten Vektoren." also einfach

α

*(x,x,0) +

β

*(0,0,y) ? damit wäre ja gegeben , dass der erste Vektor niemals als Linearkombination des zweiten dargestellt werden könnte.Heißt das ich muss nur überprüfen wie viele "unabhängige" Komponenten ein Basisvektor per Definition hat und dann die Linearkombination aufstellen ?

danke für die Antwort :-)

Bummerang

14:10 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

"Meinst du mit 'Zerlege

. .

. in eine Linearkombination mit zwei einfachen konstanten Vektoren.' also einfach

α \cdot (x, x,0) + β \cdot (0,0, y)

?"

Nein! Weil weder Dein

(\begin{matrix} x \\ x \\ 0 \end{matrix})

noch Dein

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ y \end{matrix})

ein konstanter Vektor ist! Aber vielleicht kannst Du ja

(\begin{matrix} x \\ x \\ 0 \end{matrix})

mittels eines konstanten Vektors darstellen? Und

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ y \end{matrix})

mittels eines anderen konstanten Vektors?

anonymous

14:15 Uhr, 03.04.2018

Achso , ich glaube ich hab verstanden was du meinst , ich könnte also sagen , für einen Vektor v1 gilt x = 1 und y = 0 also (1,1,0) und für einen zweiten Vektor v2 gilt x = 0 und y = 1 damit hätte ich dann (0,0,1) und diese als Linearkombination multipliziert mit Koeffizienten spanen dann den gesamten Raum

V

auf ?

Hatte ich denn bzgl. der Annahme recht , dass man "nur" auf die unterschiedlichen Komponenten der Definition des Vektorraums gucken muss um herauszufinden , wieviele Linear unabhängige Vekotren man braucht ?

nochmal vielen Dank , du bist mir eine große Hilfe :-)

Bummerang

14:23 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

was Du anhand der Definition von

V

sofort sehen kannst ist, dass jeder Vektor aus

V

so dargestellt werden kann:

(\begin{matrix} x \\ x \\ y \end{matrix}) = x \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Und umgekehrt ist jeder Vektor, der sich aus dieser Linearkombination ergibt ein Element aus V. Damit ist

{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

ein Erzeugendensystem von V. Jetzt prüfst Du, ob diese Vektoren linear unabhängig sind. Sind sie es, dann hast Du eine Basis von

V

und damit auch die Dimension von

V

und die Dimension von V^⊥. Was Du dann noch brauchst ist eine Basis von V^⊥. Entweder löst Du, wie in jeder höheren Dimension üblich ein Gleichungssystem oder Du nutzt die Möglichkeit des Kreuzproduktes im

ℝ^{3}

oder Du schaust scharf hin und erkennst sofort einen zu beiden Vektoren orthogonalen Vektor!

anonymous

14:29 Uhr, 03.04.2018

Okay , also in diesem Fall ist ja schon durchs Hinsehen klar , die Vektoren sind linear unabhängig und Bilden eine Basis für V. Mit dem Dimensionssatz kann ich dann herausfinden , dass wenn dim(

V

) = 2 und dim(

R^{3}

) = 3 => dim(

v^{⊥}

) = 1.Also brauche ich nur einen linear unabhängigen Vektor.Der wäre dann (0,1,0).

Bummerang

14:32 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

Du sucht nicht einfach eine Ergänzung der Basis von

V,

so dass die ergänzte Basis eine Basis des

ℝ^{3}

ist, sondern Du suchst eine Basis von V^⊥ und da V^⊥ der orthogonale Raum ist, müssen auch alle Basisvektoren von V^⊥ orthogonal auf

V,

insbesondere auf der Basis von

V

sein. Ist denn Dein

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

orthogonal auf

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

? Kann das also eine Basis von V^⊥ sein?

anonymous

14:35 Uhr, 03.04.2018

Achso , also stelle einfach das Skalarprodukt auf <(1,1,0),(0,0,1)> = 0 (Das ist unsere Schreibweise für das Skalarprodukt) wenn die beiden Orthogonal zu einander sind dann kann ich einen beliebigen davon als Basis für

V^{⊥}

verwenden ?

Bummerang

14:40 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

falsch! Es gilt

V \cap V

^⊥

= \emptyset,

sonst würde

dim V + dim V

^⊥

= dim ℝ^{3}

nicht funktionieren! Du suchst genaugenommen alle Vektoren, die orthogonal auf der Basis von

V

stehen. Das kannst Du über ein homogenes lineares Gleichungssystem machen, das kannst Du, weil wir im

ℝ^{3}

sind und eine Basis mit 2 Vektoren gegeben haben, auch mit dem Kreuzprodukt lösen (wenn ihr das bereits durchgenommen habt!) oder durch scharfes Hinsehen!

anonymous

14:43 Uhr, 03.04.2018

Das Kreuzprodukt hatten wir noch nicht aber ich habe mir das online gerade mal angeschaut , wenn ich das richtig verstanden habe , wird dadurch ein Vektor erzeugt , der senkrecht auf den beiden verwendeten Vektoren für das Kreuzprodukt steht.Das heißt dann , das dieser und alle Vielfachen dieses Vektors senkrecht zur Basis von

V

sind und damit den

V^{⊥}

aufspannen.

DrBoogie aktiv_icon

14:45 Uhr, 03.04.2018

Hier kann es hilfreich sein, geometrisch zu argumentieren.
Denn

V

ist einfach eine Ebene, und

V^{⊥}

daher eine Gerade, und zwar eine, die entlang eines Normalenvektors läuft. Und den Normalenvektor kann man leicht mittels Kreuzprodukts berechnen.

anonymous

14:47 Uhr, 03.04.2018

Wäre das nicht , dass was ich gerade beschrieben hatte ?

Bummerang

14:49 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

wenn ihr das Kreuzprodukt noch nicht hattet, dann darfst Du es hier nicht verwenden. Bleiben noch der scharfe Blick oder das homogen lineare Gleichungssystem. Das mit dem shcarfen Blick ist Erfahrungssache, da glaube ich, dass Du da noch welche sammeln musst. Versuche doch das Gleichungssystem aufzustellen, das Du lösen musst, wenn Du alle orthogonalen Vektoren zu den zwei Basisvektoren von

V

suchst!

anonymous

14:54 Uhr, 03.04.2018

Würde ich dazu das Skalarprodukt der beiden Basisvektoren mit einem Vektor ( x,y,z) gleich 0 setzen und dann auflösen ?

Bummerang

15:00 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

Kann sein, dass Du das richtige meinst, aber Du drückst es unglücklich aus! Du suchst alle Vektoren aus

ℝ^{3}

der Form

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

mit der Eigenschaft,

< (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) > = 0

und

< (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) > = 0

. Das ergibt das homogene lineare Gleichugnssystem:

x + y = 0

z = 0

Das musst Du allgemein lösen, damit hast Du

V

^⊥ schon gefunden und dann ermittelst Du daraus noch den einen Basisvektor, den Du brauchst für die Aufgabe.

anonymous

15:04 Uhr, 03.04.2018

Okay , vielen Dank für die Hilfe und das du dir die Zeit genommen hast mir zu helfen , auch an MrBoogie. :-)

anonymous

15:04 Uhr, 03.04.2018

edit

Bummerang

15:10 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

für die Zukunft: Deine Basis von

V

besteht schon aus orthogonalen Vektoren, weil diese paarweise immer eine Null an jeder der drei Stellen haben. Insofern sieht man sofort, dass jeder Vektor, der an letzter Stelle eine Null hat schon mal orthogonal zum Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

ist. Jetzt muss man also nur einen Vektor

(\begin{matrix} a \\ b \\ 0 \end{matrix})

finden, der orthogonal zu

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ist. Mit ein wenig Erfahrung sieht man sofort

b = - a

und damit einen der beiden Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

. Aber das ergibt sich ja auch aus dem linearen Gleichungssystem, dessen allgemeine Lösung

z . B

(\begin{matrix} α \\ - α \\ 0 \end{matrix})

lautet und sich schön zerlegen lässt in

α \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

anonymous

18:26 Uhr, 04.04.2018

Okay , vielen Dank nochmal :-)

Sarasqwasr aktiv_icon

10:36 Uhr, 18.09.2020

x + y = 0

z = 0

Das habe ich nicht verstanden wieso

Sarasqwasr aktiv_icon

10:36 Uhr, 18.09.2020

x + y = 0

z = 0

Das habe ich nicht verstanden wieso

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