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Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenraum, Eigenwert, Gram-Schmidt, Orthonormalbasis

flowerpower1234 aktiv_icon

16:25 Uhr, 10.11.2012

Hallo zusammen!

Ich soll eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren für die folgende Matrix A bestimmen:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & i \\ 0 & 1 & i & 0 \\ 0 & - i & 1 & 0 \\ - i & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

1)

Ich hab das charakteristische Polynom berechent, das ist

{(x - 2)}^{2} \cdot x^{2},

also sind die Eigenwerte

λ_{1} = 2

mit algebr. Vielfachheit 2 und

λ_{2} = 0

mit algebr. Vielfachheit 2.

2)

Ich habe die Eigenräume mit Eigenvektoren bestimmt.

E (2) = < (i, 0, 0, 1), (0, i,1,0) >

E (0) = < (- i,0,0,1), (0, - i,0,1) >

So...nun weiß ich ja, dass Eigenwerte zu versch. Eingenwerten orthogonal sind. Also müsste ich die Vektoren eigentlich nur noch normieren....

Aber muss ich jetzt die Eigenvektoren jedes Eigenraums normieren und kann sie dann zu einer Orthonormalbasis "zusammenfügen"???

Für ein wenig Hilfe, wäre ich dankbar, damit ich die Aufgabe zum Abschluss bringen kann. Ich müsste ja eignetlich fast fertig sein...

LG flowerpower1234

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

flowerpower1234 aktiv_icon

16:14 Uhr, 12.11.2012

Hat niemand eine Idee? Bin leider mit meinen Überlegungen noch nicht weiter gekommen...

michaL aktiv_icon

16:36 Uhr, 12.11.2012

Hallo, du schriebst:

> So...nun weiß ich ja, dass Eigenwerte zu versch. Eingenwerten orthogonal sind.

Tatsächlich. Aber sind alle Vektoren paarweise senkrecht?

Mfg Michael

PS: Wenn du auf "Nein" kommen solltest, dann erinnere dich des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens!

flowerpower1234 aktiv_icon

17:49 Uhr, 12.11.2012

Also

v_{1}

ist orthogonal zu

v_{2}, v_{4}

v_{2}

ist orthogonal zu

v_{1}, v_{3}

v_{3}

ist orthogonal zu

v_{2}, v_{4}

v_{4}

ist orthogonal zu

v_{3}, v_{1}

Ich denke du willst auf das Normieren hinaus, aber mir ist immer noch nicht klar, ob ich nun alle Vekotren normieren muss oder nur einige...

flowerpower1234 aktiv_icon

17:56 Uhr, 12.11.2012

Ich hab mal versucht die Vektoren zu normieren, da kommt aber immer 0 raus...

flowerpower1234 aktiv_icon

19:07 Uhr, 12.11.2012

Oh ich muss mich korriegieren !

Die Vektoren sind alle paarweise orthogonal zueinander. Ich hatte vergessen, dass wir uns im Komplexen bewegen und damit natürlich die Skalarmultiplikation anders definiert ist.

Also muss ich wirklich nur noch jeden Vektor normieren, aber das krieg ich im Komplexen nicht hin.

Das ginge ja mit der Formel

| | z | | = \sqrt{{| z_{1} |}^{2} + ... . + {| z_{n} |}^{2}}

Kann mir das mal jemand am ersten Vektor schritt für schritt erklären?

michaL aktiv_icon

19:16 Uhr, 12.11.2012

Hallo,

na, ja, das ist ja nur Rechnen.
Nehmen wir also

\vec{v_{1}} := (\begin{array}{c} i \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Dann ist offenbar

z_{1} := i

z_{2} = z_{3} := 0

und

z_{4} := 1

Kannst du jetzt nicht selbst

∣ z_{1} ∣^{2}

berechnen?

Mfg Michael

flowerpower1234 aktiv_icon

19:22 Uhr, 12.11.2012

Ja schon...

Das wär doch

| | z | | = \sqrt{i^{2} + 1} = 0

Ich glaub aber, dass das falsch ist...irgendwie steh ich total auf dem Schlauch...

michaL aktiv_icon

19:26 Uhr, 12.11.2012

Hallo,

bitte benutze eine Suchmaschine und tippe dort die Suchbegriffe "betrag", "komplexe" und "zahl" ein.

Mfg Michael

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