 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Orthonormalbasis eines Untervektorraumes
Orthonormalbasis eines Untervektorraumes
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Skalarprodukte
Vektorräume
Tags: aufgespannt, Matrizenrechnung, Orthonormalbasis, Skalarprodukt, Untervektorräume
 
|
  |
|---|
|
Hier meine Angabe zum Beispiel: Finden Sie eine Orthonormalbasis des Untervektorraums des der von den Vektoren und aufgespannt wird. Ich bitte um eine Lösung mit Zwischenschritten. Ich weiß leider nicht wie ich auf eine Orthonormalbasis komme. Ich weiß nur, dass das Skalarprodukt 0 sein muss und dass ein Vektor die Länge 1 haben muss, aber wie finde ich mit diesen Vektoren eine Orthonormalbasis? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, es gibt ein Standardverfahren, das allerdings etwas Rechnerei bedeutet: http//de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren Gruß Stephan |
 |
|
Vielen Dank, ich werde es mal damit versuchen :-) |
|
|
|
Nicht versuchen, machen ;-) Und ganz am Ende alle drei Vektoren noch durch den Betrag teilen, damit die Basis auch orthonormal ist. |
 |
|
Habs geschafft, dankeschön :-) |
|
|
|
Gerne. |
|
|
Wollte mal fragen ob das so stimmt :-) |
|
|
|
Sieht vernünftig aus, rechne ich dir jetzt nicht nach. Dafür gibts tools. :-)) Übrigens sind die ersten beiden Vektoren schon orthogonal zueinander, sodass man das Verfahren auch verkürzen kann (siehe unten ) Ich gebe dir aber einen Tipp , um deine Hand-Rechnung schneller, übersichtlicher und weniger fehleranfällig zu gestalten. Du führst ja in deiner Rechnung die Normierungsschritte bei jedem Schritt durch und musst dadurch mit vielen Wurzeln und zusätzlichen Brüchen hantieren. Für die Handrechnung ist folgendes besser: Rechne das Gram-Schmidt Verfahren zunächst ohne die Normierungsschritte (also mit unnormierten Vektoren) und versuche dabei möglichst ganzzahlig zu bleiben. Erst ganz zum Schluss, wenn du deine orthogonalen, aber noch nicht orthonormalen Vektoren komplett berechnet hast, normierst du sie einzeln durch (Teilen durch die Länge) bevor du sie in die Matrix einträgst. Da hättest du den ersten Schritt gleich gespart und sofort schon zwei orthogonale Vektoren gehabt. So bleibt deine Rechnung übersichtlicher und einfacher. Im obigen Link ist das als Orthogonalisierungsverfahren beschrieben, sehe ich gerade. Und du hast das darunter stehende , etwas umständlichere ON-Verfahren gewählt. In der engl wiki wird der geometrische Hintergrund des Verfahrens transparenter http//en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process Für numerische Zwecke , also Berechnung eines größeren ON Systems mit der Rechner taugt dieser Tipp allerdings nichts, da muss man zwecks Rundungsfehlerdämpfung zwischendrin normieren, sofern man nicht gleich ein besseres, numerisch stabileres Verfahren wählt. |
|
|
|
Aufgrund der speziellen Aufgabenstellung mit schon zwei orthogonalen Vektoren, vermute ich hier, dass der Aufgabesteller eher an eine selbstgestrickte ad-hoc Lösung gedacht hat - etwa den 3. senkrechten Vektor als Linearkombination der 3 gegebenen Vekt. anzusetzen. Und dann die Orthogonalitätsbedingung zu nutzen um ein kleines Gleichungssystem für die gesuchten Koeffzienten/koordinaten zu erzeugen .. Skalarpodukt wegen Orthogonalität Bestimme aus Lösung ist logischerweise nicht eindeutig. Man kann also zB. setzen und rekursiv auflösen und anschließend alle Vekt. normieren. Also im Prinzip den 2. Schritt des Gram Schmidt Verfahrens ohne selbiges zu kennen. |
|
|
|
Die ersten beiden Vektoren sind sxhon orthogonal. Gram-Schmidt liefert denn für den dritten Vektor Jetzt noch alle drei normieren ergibt |
|
|
|
Danke :-) |
1172983
1172407