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Orthonormalbasis, symmetrische Bilinearform

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Tags: Linear Abbildung, Skalarprodukt

 
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AstroYoman

AstroYoman

01:41 Uhr, 20.04.2015

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Hallo,

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei s die symmetrische Bilinearform auf R3, die bezuglich der Standardbasis des R3 gegeben ist durch die Matrix

A=(3-20-22-20-21)

(a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des R3 (bzgl. des Standardskalarproduktes), sodass die zugehörige darstellende Matrix von s Diagonalgestalt hat.

(b) Beweisen oder widerlegen Sie: s ist ein Skalarprodukt auf R3.

zu (a) : Heißt das , man soll eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren zu s bestimmen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:49 Uhr, 20.04.2015

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"Heißt das , man soll eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren zu bestimmen?"

Nein. Zu nutzen ist
http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

AstroYoman

AstroYoman

13:57 Uhr, 20.04.2015

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Ja, ich benutze das Orthonormalisierungsverfahren. Dazu brauche ich Basisvektoren.
Sind das die Spaltenvektoren der Matrix A? Und wie bekomme ich die neue darstellende Matrix, die Diagonalgestalt hat?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:59 Uhr, 20.04.2015

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UPDATE. Stop. Ich habe die Aufgabe falsch verstanden. Ja, Du hattest Recht, Du brauchst die Eigenvektoren. Sorry.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:03 Uhr, 20.04.2015

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Die Eigenvektoren werden automatisch orthogonal sein, Du musst sie dann nur noch normieren. Auf der Diagonale stehen dann die Eigenwerte.
AstroYoman

AstroYoman

14:26 Uhr, 20.04.2015

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Ok. Also ich berechne die Eigenvektoren mit der Matrix A, die ich anschließend normiere. Und die Eigenwerte sind die Hauptdiagonalelemente der zuhörigen darstellenden Diagonalmatrix von s.

Warum sind die Eigenvektoren automatisch orthogonal?

Zu (b): Da s eine symmetrische Bilinearform ist, ich soll nur noch prüfen ob sie positiv definit ist? Dazu brauche ich zwei Vektoren. Welche Vektoren nehme ich?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:47 Uhr, 20.04.2015

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"Warum sind die Eigenvektoren automatisch orthogonal?"

Es is Theorie. Kuck in Deinem Skript nach. Oder im Netz.

"Zu (b): Da eine symmetrische Bilinearform ist, ich soll nur noch prüfen ob sie positiv definit ist?"

Ja.

"Dazu brauche ich zwei Vektoren."

Nein. Du musst B(x,x)>0 für ALLE x≠0 zeigen. (Wo B(,) - die symmetrische Form ist).

Es ist immer hilfreich, die Definitionen zu lernen. ;-)


Frage beantwortet
AstroYoman

AstroYoman

15:03 Uhr, 20.04.2015

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Vielen Dank, DrBoogie