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Orthonormalsystem bilden

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Orthonormalbasis, Orthonormalisierungsverfahren, Orthonormalsystem, Skalarprodukt

Nick-Cave aktiv_icon

20:28 Uhr, 25.05.2014

Hallo zusammen,

Ich habe Fragen bezüglich der Aufgabe, die ich als .png Datei hochgeladen habe.
Zudem habe ich auch ein paar Informationen hochgeladen, die einem für diese Aufgaben helfen sollen.

Bei der Aufgabe a) soll ich zeigen, dass

v_{1} u n d v_{2}

ein Orthogonalsystem bilden.

Da muss man doch ganz einfach

v_{1} u n d v_{2}

normieren, d.h.

∣ ∣ v_{1} ∣ ∣ = \sqrt{(0, 5 ² + 0, 5 ² + 0, 5 ² + 0, 5 ²)} = 1

∣ ∣ v_{2} ∣ ∣ = \sqrt{(0, 5 ² + 0, 5 ² + (- 0, 5) ² + (- 0, 5 ²))} = 1

Bei der Aufgabe b)

b_{3} = \frac{v_{1}}{∣ ∣ v_{1} ∣ ∣}

b ʹ 4 = v_{2} - 〈 b_{3}, v_{2} 〉 \cdot b_{3}

b_{4} = \frac{b ʹ 4}{∣ ∣ b ʹ 4 ∣ ∣}

Mein Ergebnis lautet:

b_{4} = v_{2}

Kann das stimmen? ich habe alles genau nachgerechnet, aber ich komme tatsächlich auf

v_{2}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

pwmeyer aktiv_icon

20:42 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

für die erste Aufgabe musst Du zeigen, dass

v_{1}

und

v_{2}

die Länge 1 haben - das hast Du getan. Aber Du musst auch zeigen, dass sie orthogonal aufeinander stehen,

d . h

. dass ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.

Bei der 2. Aufgabe musst Du zunächst 2 weitere Vektoren

b_{3}

und

b_{4}

finden, die

v_{1}

und

v_{2}

zu einer Basis ergänzen - erst dann kannst Du das Orthonormierungsverfahren anwenden, das natürlich für

v_{1}

und

v_{2}

nichts neues bringt, wohl aber dann für

b_{2}

und

b_{4}

.

Falls Ihr keine "Methode" kennt zur Basisergänzung würde ich einfach 2 linear unabhängige Vektoren

b_{3}

und

b_{4}

bestimmen, die schon auf

v_{1}

und

v_{2}

senkrecht stehen.

Gruß pwm

Nick-Cave aktiv_icon

20:57 Uhr, 25.05.2014

Ich dachte ich hätte die zwei linear unabhänigigen Vektoren

b_{3}

und

b_{4}

doch schon gefunden, indem ich das oben geschriebene Verfahren verwendet habe.
für

b_{3}

habe ich ja:

\frac{((1 / 2), (1 / 2), (1 / 2), (1 / 2))}{1}

und für

b ʹ_{4}

habe ich dann einfach:

((1 / 2), (1 / 2), (- 1 / 2), (- 1 / 2))

Daraus folgt, dass der Vektor

b_{4} = \frac{b ʹ_{4}}{∣ ∣ b ʹ_{4} ∣ ∣} = \frac{((1 / 2), (1 / 2), (- 1 / 2), (- 1 / 2))}{1} = ((1 / 2), (1 / 2), (- 1 / 2), (- 1 / 2))

ist, oder?

pwmeyer aktiv_icon

09:13 Uhr, 26.05.2014

Hallo,

es ist doch

b_{3} = v_{1}

und

b_{4} = v_{2}

. Dann kann doch

v_{1}, v_{2}, b_{3}, b_{4}

keine Basis für

ℝ^{4}

sein?

Gruß pwm

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