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Ortslinie bestimmen

Schüler

Tags: Funktionsscharen 3. Grades, Ortlinie

mathefreund12345 aktiv_icon

17:38 Uhr, 27.11.2013

hi,
ich habe folgende Funktion:

k x^{3} - x

nun möchte ich die Ortlinie sowohl zu den Hochpunkten als auch zu den Tiefpunkten bestimmen.

Ich habe bereit die verschiedenen Extrempunkte berechnet. Diese liegen bei

+ - {(\frac{1}{3 k})}^{0,5} k > 0

Die zusätzlichen Y-Werte sind nach meinen Berechnungen:

1.

x = {(\frac{1}{3 k})}^{\frac{1}{2}} y = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}} \to

Tiefpunkt
und:
2.

x = - {(\frac{1}{3 k})}^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}} \to

Hochpunkt

Ortline bei der

1 . :

erst nach

k

umgeformt:

k = \frac{1}{3 \cdot x^{2}}

und nun in die y-Gleichung des Hochpunktes eingesetzt:
und bin auf

- \frac{2}{3} \cdot x

gekommen. Diese Lineare Funktion schneidet zwar die Tiefpunkte, aber auch die Hochpunkte.
Ortline bei der

2 . :

habe wieder nach

k

umgeformt:

k = \frac{1}{3 \cdot x^{2}}

in die Funktionsgleichung des Tiefpunktes eingesetzt:

\frac{2}{3} \cdot x

Diese gerade geht nicht durch eines der Extrema.

Nun ist meine Frage, wenn es wie in meinem Fall nur eine Ortlinie gibt, für alle Extrema(falls ich mich nicht verechnet habe). Wie kann ich das beweisen/begründen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

18:11 Uhr, 27.11.2013

f_{k} = k \cdot x^{3} - x

[k \cdot x^{3} - x]

= 3 k x^{2} - 1

3 k x^{2} - 1 = 0

x^{2} = \frac{1}{3 k}

x_{1} = \sqrt{\frac{1}{3 k}} = \frac{1}{\sqrt{3 k}} = \frac{\sqrt{3 k}}{3 k}

x_{2} = - \frac{\sqrt{3 k}}{3 k}

(3 k x^{2} - 1)

= 6 k x

f

´´

(\frac{\sqrt{3 k}}{3 k}) = 6 k \cdot \frac{\sqrt{3 k}}{3 k} = 2 \sqrt{3 k} > 0 \to M i n i m u m

für

k > 0

f

´´

(- \frac{\sqrt{3 k}}{3 k}) = 6 k \cdot \frac{(- \sqrt{3 k})}{3 k} = - 2 \sqrt{3 k} < 0 \to M a x i m u m

für

k > 0

Nun noch für

k < 0 \to ...

.

Mit Ortslinien kenne ich mich nicht aus.

mfG

Atlantik

mathefreund12345 aktiv_icon

18:25 Uhr, 27.11.2013

danke hatte mich vertan, nun brauch ich noch hilfe mit den Ortslinien

\frac{:}{}

Ma-Ma aktiv_icon

21:13 Uhr, 27.11.2013

Für

k

gibt es evtl. eine Einschränkung ?

k > 0

mathefreund12345 aktiv_icon

21:25 Uhr, 27.11.2013

Deswegen kann es doch trotzdem eine Ortslinie für Hoch- und eine für Tiefpunkte geben?!

Ma-Ma aktiv_icon

21:29 Uhr, 27.11.2013

Nicht unbedingt. Vielleicht gibt es bei

k = 0

oder

k < 0

keine Extrempunkte ?
Also, was sagt die Aufgabenstellung für

k

?

Desweiteren, warum soll die Ortskurve der Hochpunkte und Tiefpunkte nicht zufälligerweise identisch sein ?

Mach Dir eine (Online-)Skizze !

Nachtrag: Bei

k > 0

könnte die Funktion ja auch punktsymmetrisch zum Ursprung sein

...

mathefreund12345 aktiv_icon

21:34 Uhr, 27.11.2013

Wir haben die Funktion kx^3-x bekommen und sollen hier die Ortlinien für Hoch- und Tiefpunkt bestimmen.

k

muss

> 0

sein wie sich bei den umformen ergeben hat.
Bei allen

k > 0

gibt es einen Hochpunkt im 2. Quardranten und einen Tiefpunkt im 4.

mathefreund12345 aktiv_icon

21:36 Uhr, 27.11.2013

und es kann doch nicht sein, wenn ich die Ortlinie für die Tiefpunkte ausrechne, ein völlig anderes Ergebnis rauskommt und dieses durch keinen der Extremstellen führt

Ma-Ma aktiv_icon

21:38 Uhr, 27.11.2013

k > 0

und Punktsymmetrie im Koordinatenursprung.

Moment bitte, ich hänge gleich eine Skizze an (Diese hättest Du eigentlich selber machen sollen

!)

Ma-Ma aktiv_icon

21:42 Uhr, 27.11.2013

Hier der Graph

... ... ... ... ...

Ma-Ma aktiv_icon

21:44 Uhr, 27.11.2013

Ich schaue mir gleich mal die Umformung für die Tiefpunkte an. Moment bitte

. .

Ma-Ma aktiv_icon

21:46 Uhr, 27.11.2013

Ohne zu rechnen. Prüfe nochmal Deine Vorzeichen beim Umformen.

mathefreund12345 aktiv_icon

21:47 Uhr, 27.11.2013

Danke schonmal. Ich rechne nochmal nach, obwohl ich mir eigentlich sicher bin, dass das stimmt ;-)

mathefreund12345 aktiv_icon

22:02 Uhr, 27.11.2013

Ich komme wieder auf

\frac{2}{3} \cdot x ... ... .

. Auf diesem Graphen liegt keine Extremstelle

Ma-Ma aktiv_icon

22:09 Uhr, 27.11.2013

x_{2} = - \frac{1}{\sqrt{3 k}}

k = \frac{1}{3 x^{2}}

Sind wir uns bis dahin einig ?

mathefreund12345 aktiv_icon

22:10 Uhr, 27.11.2013

Jap genau

Ma-Ma aktiv_icon

22:14 Uhr, 27.11.2013

y = k \cdot x^{3} - x

y = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot x^{3} - x

y = \frac{1}{3} x - x = \frac{1}{3} x - \frac{3}{3} x = - \frac{2}{3} x

y = - \frac{2}{3} x

mathefreund12345 aktiv_icon

22:21 Uhr, 27.11.2013

Moment.. ich hatte gelernt das man die Gleichung, in unserem Fall

\frac{1}{3 x^{2}},

in die Funktion einsetzen muss , welche den

y -

Wert des Hochpunkts beschreibt,aber von

k

abhänging ist: Also

f (- {(\frac{1}{3 k})}^{\frac{1}{2}})

Ma-Ma aktiv_icon

22:31 Uhr, 27.11.2013

Wie lautet die Funktion für den y-Wert (des Hochpunktes) ?

mathefreund12345 aktiv_icon

22:39 Uhr, 27.11.2013

y = k \cdot {(- {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}})}^{3} - (- {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}})

= k \cdot (\frac{1}{3 \cdot k}) \cdot - {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{3} \cdot k)}^{\frac{1}{2}}

= - \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{3} \cdot k)}^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{3 \cdot k})}^{\frac{1}{2}}

Ma-Ma aktiv_icon

22:47 Uhr, 27.11.2013

Ohne dass alles nachzulesen:
Du suchst eine Ortslinie, die abhängig von

x

ist,

z . B

h (x)

.
Diese Ortslinie muss also

x

beinhalten !

Du ersetzt das

k

mit einem Term, der

x

beinhaltet.

(Wenn kein

x

mehr enthalten ist , so gibt es keine Funktion, die von

x

abhängig ist

!)

y (x) = k \cdot x^{3} - x

Ersetze

k!

mathefreund12345 aktiv_icon

22:58 Uhr, 27.11.2013

Ich habe es in meinen Mathebuch nachgelesen, und es ist richtig dass man es in die von

k

abhängige Funktion einsetzen muss. Somit kommen 2 unterschiedliche Funktionen raus

- . -

komische Sache

Ma-Ma aktiv_icon

23:07 Uhr, 27.11.2013

Grundlegende Vorraussetzung: Ortslinie

h (x) :

Ortslinie ist abhängig von

x

. Also muss

x

erhalten bleiben !
Wir ersetzen nur

k!

In unserem Fall kommen 2 Funktionen raus, die identisch sind

\to

wegen Punktsymmetrie.
LG Ma-Ma

Matlog aktiv_icon

02:36 Uhr, 28.11.2013

Es kommt tatsächlich beide Male

y = - \frac{2}{3} \cdot x

als Ortslinie heraus!

Du verrechnest Dich offensichtlich in einem Fall, weil Du immer

\sqrt{x^{2}} = x

rechnest, was für negative

x

aber falsch ist. Für negative

x

ist

\sqrt{x^{2}} = - x

Atlantik aktiv_icon

03:53 Uhr, 28.11.2013

@Matlog
Du sagst:
" Du verrechnest Dich offensichtlich in einem Fall, weil Du immer

\sqrt{x^{2}} = x

rechnest, was für negative

x

aber falsch ist. Für negative

x

ist

\sqrt{x^{2}} =

−

x

. "

Ich bin der Ansicht: Für negative

x

gilt auch

\sqrt{x^{2}} = x

.

Wolfram : www.wolframalpha.com/input/?i=solve+++++sqrt%28%28-9%29%5E2%29+++

mfG

Atlantik

Matlog aktiv_icon

12:05 Uhr, 28.11.2013

@Atlantik:
Wenn Du noch mal kurz drüber nachdenkst wirst Du feststellen, dass das Ergebnis von Wolfram nur meine Aussage unterstützt!

mathefreund12345 aktiv_icon

16:34 Uhr, 28.11.2013

@ Matlog

bist du dir da zu

100 %

sicher?
ich meine, es ist ja klar das

x < 0

bei der Ortlinie der Hochpunkte ist, wie man durch die Rechnungen herausgefunden hat.
nur das

\sqrt{{(- x)}^{2}} = - x,

war mir noch nicht klar.

Matlog aktiv_icon

18:04 Uhr, 28.11.2013

Ich bin mir zu

99, \bar{9} %

sicher! (nur ein kleiner Scherz!)

Nehmen wir Atlantiks Beispiel:

x = - 9

\sqrt{{(- 9)}^{2}} = \sqrt{81} = 9

und

9 = - (- 9) = - x

- x

heißt ja nicht, dass dies etwas Negatives ist! Bei einem negativen

x

ist

- x

positiv!

Verständlich?

mathefreund12345 aktiv_icon

18:25 Uhr, 28.11.2013

ich steh irgendwie aufm Schlauch.... gibt es dafür irgendeine Regel die das besagt? Finde das ein wenig merkwürdig

: (

Matlog aktiv_icon

20:47 Uhr, 28.11.2013

Die Definition einer (Quadrat-)Wurzel (innerhalb der reellen Zahlen) sagt, dass dabei eine nichtnegative Zahl herauskommt.
Also

\sqrt{81} = 9;

\sqrt{81} = - 9

ist falsch!

Wenn

x = - 9,

dann ist

\sqrt{x^{2}} = x = - 9

also falsch!
Für beliebige

x

kann man höchstens sagen:

\sqrt{x^{2}} = | x |

mathefreund12345 aktiv_icon

21:10 Uhr, 28.11.2013

und bezogen auf meine Aufgabe, ich versteh das nicht. kannst du evtl. mal deinen Rechenweg zeigen, wie du bei beiden Ortlinien auf

- \frac{2}{3} x

kommst ?...:-)

Matlog aktiv_icon

21:26 Uhr, 28.11.2013

Tiefpunkte

(\sqrt{\frac{1}{3 k}} | - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3 k}})

k = \frac{1}{3 x^{2}}

eingesetzt ergibt

y = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^{2}} = - \frac{2}{3} \cdot x

(da

x

positiv)

Hochpunkte

(- \sqrt{\frac{1}{3 k}} | \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3 k}})

k = \frac{1}{3 x^{2}}

eingesetzt ergibt

y = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^{2}} = \frac{2}{3} \cdot (- x) = - \frac{2}{3} \cdot x

(da

x

hier negativ)

mathefreund12345 aktiv_icon

21:55 Uhr, 28.11.2013

Vielen Dank ;-)

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