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Ortslinien bei Kurvenscharen: Aufgabe lösen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Aufgabe, Kurvenschar, ortslinien

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15:01 Uhr, 22.10.2013

Hallo,
kann mir bitte jemand helfen folgende Aufgabe mit dem GTR (Ti-Nspire CAS) zu lösen?:

Zu jeder Zahl t > 0 ist eine Funktion $f_{t}$ gegeben durch $f_{t} (x) = x (x - t) ² + t, t ϵ R^{+}$ .

Der Graphf von $f_{t}$ ist die Kurve $K_{t}$ .

a) Erstellen Sie ein aussagekräftiges Schaubild der Kurvenschar.

b) Bestimmen Sie allgemein die Extrempunkte der Kurve $K_{t}$ .

c) Leiten Sie die Gleichung derjenigen Kurve $C_{T}$ her, auf der die Tiefpunkte aller Scharkurven liegen.Zeichnen Sie $C_{T}$ in das vorhandene Schaubild ein. Ist jeder Punkt der Kurve $C_{T}$ tatsächlich Tiefpunkt einer Scharkurve?

d) Leiten Sie die Gleichung derjenigen Kurve $C_{H}$ her, auf der die Hochpunkte der Scharkurven liegen. Zeichnen Sie $C_{H}$ in das vorhandene Schaubild ein. Ist jeder Punkt der Kurve $C_{H}$ tatsächlich Hochpunkt einer Scharkurve?

Vielen Dank im voraus :))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

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18:22 Uhr, 22.10.2013

Also

a)

und

b)

habe ich inzwischen selber herausgefunden, jedoch komme ich mit

c)

und

d)

nicht weiter. Was muss man da machen? Wer kann mir dazu helfen?

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18:45 Uhr, 22.10.2013

Erstmal die Extremwerte bestimmen und dann nach

H_{P}

und

T_{P}

aufteilen.

Dann den

H_{P} \in f (x)

einsetzen und

y

berechnen.

Den x-Wert des Extremwerts nach der Formvariable umstellen und
damit in den y-Wert des Extrempunkts gehen um die Ortskurve zu ermitteln.

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18:52 Uhr, 22.10.2013

Jetzt habe ich ein Problem:
Um die Extrempunkte zu bestimmen habe ich die 1. Ableitung

= 0

gesetzt und folgendes herausbekommen:

x = \frac{t}{3}

x = t

Ist das richtig?

Wenn ja, dann ist

\frac{t}{3}

ein Hochpunkt, da wenn ich

\frac{t}{3}

als x-Wert in die 2.Ableitung einsetze

- 2 \cdot t

rauskommt, aber wenn ich das gleiche mit

t

mache kommt 0 raus und

d . h

. widerrum das es ein Sattelpunkt ist, doch wenn ich die Funktion im Graphen zeichne ist das ein Tiefpunkt? Ich blicke hier nicht mehr durch

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19:05 Uhr, 22.10.2013

f_{t} (x) = x {(x - t)}^{2} + t

f_{t} (x) = x^{3} - 2 t \cdot x^{2} + t^{2} \cdot x + t

f_{t}' (x) = 3 x^{2} - 4 t \cdot x + t^{2}

Jetzt bestimme die Extremwerte.

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19:11 Uhr, 22.10.2013

Wie gesagt, ich komme auf

x = \frac{t}{3}

und

x = t

und wenn ich das zweite

x

(also das

t)

als x-Wert in die zweite Ableitung einsetze kommt 0 raus. Das ist mein Problem im Moment

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19:12 Uhr, 22.10.2013

Deine Extremwerte habe ich auch, ich rechne mal kurz nach...

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19:20 Uhr, 22.10.2013

f_{t}'' (x) = 6 x - 4 t

x_{1} = t

daraus folgt

2 t

2 t > 0 d . h

T_{P}

x_{2} = \frac{1}{3} t

daraus folgt

- 2 t

- 2 t < 0

daraus folgt

H_{P}

Fangen wir mit dem

H_{P}

an.

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19:29 Uhr, 22.10.2013

Oder besser mit dem

T_{p}

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19:30 Uhr, 22.10.2013

Jetzt habe ich den Fehler gefunden. Wenn ich in meinem GTR das

x

in "

f'' (x, t)

" mit

t

ersetze kommt 0 raus und anscheinend geht das nicht. Wie soll das denn sonst gehen?

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19:38 Uhr, 22.10.2013

Du sollst das auch nicht mit dem TR machen, sondern per Hand rechnen.

f_{t}'' (x) = 6 x - 4 t

0 setzen

6 x = 4 t

x = \frac{2}{3} t

D . h

. Der Wendepunkt ist

\frac{2}{3} t

und nicht

t

oder

\frac{1}{3} t

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19:41 Uhr, 22.10.2013

Das Problem ist aber, dass ich das zwingend mit dem Taschenrechner machen muss, da es Bestandteil meiner GFS (10-minütige Präsentation) über den Taschenrechner ist. Die Aufgabe habe ich von der Lehrerin aufbekommen

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19:49 Uhr, 22.10.2013

Dann machst du mit deinem TR wohl was verkehrt. Da kenn ich dir leider nicht helfen.

Ich kann dir nur sagen, das der

T_{P}

bei

x = t

und der

H_{P}

bei

x = \frac{1}{3} t

liegt.

W_{P}

ist

\frac{2}{3} t

.

Sollen wir noch weiterrechnen?

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19:51 Uhr, 22.10.2013

Also

a)

und

b)

haben wir nun gelöst. Nach dem Wendepunkt war doch eigentlich garnicht gefragt oder braucht man das für

c)

und/oder

d)

c)

und

d)

noch rechnen wäre echt nett :-)

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19:56 Uhr, 22.10.2013

Nee, Wendepunkt brauchen wir nicht, ich wollte nur verdeutlichen, dass

H

und

T

echte Extremwerte sind und keine Sattelpunkte.

Dann setz mal den TP in

f_{t} (x)

ein und berechne

y

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19:59 Uhr, 22.10.2013

(t | t)

(\frac{t}{3} |

4t³/27

+ t)

Stimmts?

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20:04 Uhr, 22.10.2013

Was soll das denn sein?

t = t

?

Tiefpunkt:

x = t

Hochpunkt:

x = \frac{1}{3} t

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20:08 Uhr, 22.10.2013

Ich meinte eigentlich folgendes:
Tiefpunkt

x = t

und wenn man das in ft(x) einsetzt so erhält man als y-Wert

t (y = t)

das gleiche dann mit dem Hochpunkt

x = \frac{1}{3} t

in ft(x) einsetzen:

y =

4t³/27

+ t

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20:14 Uhr, 22.10.2013

Erstmal nur den

T_{P}

für

y = t

.

Jetzt verfahren, wie oben beschrieben.

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20:41 Uhr, 22.10.2013

Leider verstehe ich nicht was du meinst, weil ich ja den

b)

Teil eigentlich ja schon zu Ende gerechnet habe.

Also ich bin nun soweit:

a)

Erfolgreich im GTR eingezeichnet

b)

ebenfalls erledigt: TP

(t | t)

und HP

(\frac{1}{3} t |

4t³/27

+ t)

c)

Leider konnte ich die Gleichung nicht herleiten, da wir ja für sowohl für den x-Wert als auch für den y-Wert des TP

t

rausbekommen haben.

d)

Gleichung hergeleitet indem ich

x = \frac{1}{3} t

nach

t

aufgelöst habe

(t = 3 \cdot x)

und diesen dann in den

t

vom

y =

4t³/27

+ t

eingesetzt habe und schließlich folgende Gleichung für die Ortskurve aller Hochpunkte erhalten habe: y=4x³+3x
Wenn ich diesen im GTR in den Graphen eingebe so durchlaufen alle Punkte durch die Hochpunkte der Kurvenscharen

Jetzt fehlt mir nur noch

c)

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21:05 Uhr, 22.10.2013

c)

die Rechnung hast du doch. Achte mal auf die Fragestellung.

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21:13 Uhr, 22.10.2013

Was muss ich denn bei

c)

als Funktion für die Ortskurve aller Tiefpunkte im GTR eingeben?

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00:56 Uhr, 23.10.2013

Die Ortskurven für

T_{P}

und

H_{P}

sollst du doch berechnen.

Was willst du denn da eingeben, wenn du die Funktionen nicht selber berechnest hast?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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