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Paarweise unabhängig, aber nicht vollständig

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Unabhängigkeit

anonymous

13:56 Uhr, 05.12.2014

Hallo

ich habe einige Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:

Ein guter Würfel wird dreimal geworfen. Es sei

A_{i},_{j}

das Ereignis, dass der i-te und der j-te Wurf dieselbe Zahl ergeben. Zeigen Sie,dass die Ereignisse

A_{i},_{j}

, 1

\leq

i < j

\leq

3, paarweise unabhängig, aber nicht vollständig unabhängig sind.
Kann man das Ergebnis auf n Würfe verallgemeinern?

generell heißt es ja:

P(

A_{j}

∣

A_{i}

)=P(

A_{i}

\cap

A_{i}

)/P(

A_{i}

\frac{\frac{1}{6} * \frac{1}{6}}{\frac{1}{6}}

vielen dank schonmal :-)

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14:09 Uhr, 05.12.2014

Paarweise unabhängig:

P (A_{i, j} \cap A_{i_{1}, j_{1}}) = P (A_{i, j}) P (A_{i_{1}, j_{1}})

{i, j} \neq {i_{1}, j_{1}}

.
Vollständig unabhängig:

P (A_{1, 2} \cap A_{1, 3} \cap A_{2, 3}) = P (A_{1, 2}) P (A_{1, 3}) P (A_{2, 3})

.

Weiter braucht man nur die W-keiten zu berechnen.
Es kommt

P (A_{i, j}) = 1 / 6

P (A_{i, j} \cap A_{i_{1}, j_{1}}) = 1 / 36

und

P (A_{1, 2} \cap A_{1, 3} \cap A_{2, 3}) = 1 / 36

raus.

anonymous

14:17 Uhr, 05.12.2014

und wo sehe ich da jetzt, dass das nur paarweise unabhängig ist und nicht vollständig?

vielen dank :-)

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14:18 Uhr, 05.12.2014

1 / 36 = (1 / 6) \cdot (1 / 6)

,
aber

1 / 36 \neq (1 / 6) \cdot (1 / 6) \cdot (1 / 6)

anonymous

14:20 Uhr, 05.12.2014

cool danke :-)

anonymous

15:03 Uhr, 05.12.2014

wie kommst du denn bei P(

A_{1},_{2}

\cap

A_{1},_{3}

\cap

A_{2},_{3}

)=1/36

mit dem Multiplikationssatz komme ich da auch auf (1/6)^3

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15:17 Uhr, 05.12.2014

Den darfst Du aber nur anwenden, wenn sie vollständig unabhängig sind. Sind sie aber nicht.
Du musst dieses Ereignis direkt beschreiben. Das musst Du übrigens auch im ersten Punkt (paarweise Unabhängigkeit) tun. Hast Du da auch den Satz angewendet? Dann hast Du die Aufgabe überhaupt nicht verstandne, muss ich leider sagen.

anonymous

15:22 Uhr, 05.12.2014

Na bei paarweise unabhängig ist das ja wie beim Ziehen mit Zurücklegen, dass heisst der Ausgang des ersten Zuges hat keinen Einfluss auf den Ausgang des zweiten Zuges.

DrBoogie aktiv_icon

15:28 Uhr, 05.12.2014

Aber Du weißt nicht, ob sie paarweise unabhängig sind. Das musst Du BEWEISEN.

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