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Parallele Ebene konstruieren mit Abstand ?

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Abstand, eben, parallel, Vektor

Tamburin442 aktiv_icon

12:51 Uhr, 27.07.2016

Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe und weiß leider nicht wie ich diese lösen soll.

Aufgabe .

Gegegeben

: E : - x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = a

Aufgabe : Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die im Abstand

A = 2 a

unterhalb der Platte und parallel zu ihr liegt!

Wie soll ich so eine Aufgabe lösen, ich stehe komplett auf dem schlauch.

Mit besten Grüßen
Tamburin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Bummerang

13:05 Uhr, 27.07.2016

Hallo,

es steht zwar nicht da, aber möglicherweise geht es um den

ℝ^{3}!

Dann stellen die Koeffizienten der Ebenengleichung einen Normalenvektor dar. Bestimme den Normalenvektor, der

2 \cdot a

lang ist und in die Richtung zeigt, dass es "unterhalb der Platte" ist (was soll das mathematisch sein???). Dann nimm einen beliebigen Punkt der Ebene und addiere den eben errechneten Normalenvektor dazu. Setze diesen Punkt in die linke Seite der gegebenen Ebenengleichung ein und ermittle durch Ausrechnen die rechte Seite!

Tamburin442 aktiv_icon

13:22 Uhr, 27.07.2016

Genau es geht um den

3 D -

Raum !

Der Normalenvektor lautet

: n = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

Also ich muss nun einen Normalenvektor bestimmen der :

1. einen Betrag von

2 a

hat

2. in die entgegengesetze richtung von

n

zeigt.

Also einen Vektor der entgegengesetzt von

n

zeigt ist logischerweise

- n

.

Aber der Betrag von

n

ist

: \sqrt{6}!

Wie komme ich auf 2a???

Bummerang

13:27 Uhr, 27.07.2016

Hallo,

"Wie komme ich auf 2a"

Ist die Frage ernst gemeint? Wie würdest Du denn den Vektor

- n

auf die Länge 1 normieren? Und was musst Du tun, dass ein auf Länge 1 normierter Vektor plötzlich

2 \cdot a

lang sein soll?

Tamburin442 aktiv_icon

15:24 Uhr, 27.07.2016

den vektor

- n

würde ich folgendermaßen normieren:

\frac{1}{| - n |} \cdot - n,

die Länge hier ist jetzt 1. Aber wie kann dieser vektor die Länge

2 a

haben??

Ich komme nicht drauf. Verrate es einfach, damit ich mit den nächsten Punkten weitermachen kann, die habe ich nämlich auch nicht verstanden.

Tamburin442 aktiv_icon

15:32 Uhr, 27.07.2016

der vektor

- n

lautet

: - n = - 1 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

der Normierte Vektor lautet

: \frac{1}{| - n |} \cdot - n = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Und

| - n | = 1

Aber ich verstehe seit 2 Stunden immernoch nicht wie ich den normierten vektor so einrichten soll dass er die länge

2 a

haben soll

: - (

funke_61 aktiv_icon

15:57 Uhr, 27.07.2016

Wunderbar,
Jetzt hat

- \vec{n_{0}} = \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

die Länge 1

Wie kommen wir jetzt auf die Länge

2 a

?
Na einfach indem Du

- \vec{n_{0}}

mit der gewünschten Länge multiplizerst . . .
;-)
Edit: Habe gerade noch den Index 0 an den Vektor

\vec{n}

angefügt, um ihn als Einheitsvektor der Länge 1 zu kennzeichnen.

Tamburin442 aktiv_icon

16:02 Uhr, 27.07.2016

wie ? So einfach ???

lautet der gesuchte Vektor

(=

Normalenbektor ???) :

Ich nenne diesen Vekor der Ebene

E_{2}

einfach mal jetzt

n_{2} :

n_{2} = 2 a \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

dann würde glaube ich da stehen:

n_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{matrix} 2 a \\ 4 a \\ - 2 a \end{matrix})

.
Ist das richtig so??

Tamburin442 aktiv_icon

16:07 Uhr, 27.07.2016

falls bis jetzt alles korrekt ist , hat Bummerang noch gesagt :

..."Dann nimm einen beliebigen Punkt der Ebene und addiere den eben errechneten Normalenvektor dazu. Setze diesen Punkt in die linke Seite der gegebenen Ebenengleichung ein und ermittle durch Ausrechnen die rechte Seite!"

Warum soll ich einen beliebigen Punkt der Ebene zum Normalenvekor addieren? Was soll das geomtrisch bedeuten?

funke_61 aktiv_icon

16:14 Uhr, 27.07.2016

Der Ortsvektor des beliebigen Punktes der Ebene ist

\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

Zu diesem Vektor sollst Du den eben gefundenen Vektor mit der Länge

2 a

addieren.

Schreib das bitte erstmal hin . . .

Tamburin442 aktiv_icon

16:29 Uhr, 27.07.2016

Ich habe hier als Punkt von der Ebene

E_{1}

den Punkt

P_{1} (a, a, 4 a)

n_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{matrix} 2 a \\ 4 a \\ - 2 a \end{matrix})

und jetzt soll ich berechnen

: r_{1} + n_{2}

???

Dann steht da

: \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{matrix} 2 a \\ 4 a \\ - 2 a \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ a \\ 4 a \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{2 a}{\sqrt{6}} + a \\ \frac{4 a}{\sqrt{6}} + a \\ \frac{- 2 a}{\sqrt{6}} + 4 a \end{matrix})

sieht aber komisch aus.

funke_61 aktiv_icon

16:49 Uhr, 27.07.2016

So wird das aber keine Ebenengleichung!

Aus Wikipedia:
"Eine Ebene besteht

. .

. aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren

\vec{x}

die Ebenengleichung efüllen."

Verwende bitte den "beliebigen Punkt der Ebene", den ich Dir in meinem letzten Post gezeigt habe, denn es ist wichtig, dass die Komponeneten

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

des beliebigen Punktes der Ebene in der gewünschten neuen Ebenengleichung "wiederauftauchen".

Denk an die DFINITION der Normalenform!

\vec{p}

"zeigt" auf den "Stützpunkt" der Ebene (Stützvektor).

\vec{x}

"zeigt" auf einen beliebigen Punkt der Ebene.

(\vec{x} - \vec{p})

ist deshalb immer ein Vektor in der entsprechenden Ebene!
Eine zentrale Rolle spielt nun das Skalarprodukt aus

(\vec{x} - \vec{p})

und dem Normalenvektor

\vec{n} :

Der Normalenvektor

\vec{n}

steht senkrecht auf der Ebene, also
muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null sein:

(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0

umgeformt:

\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n}

oder auch mit ausgewetetem Skalarprodukt auf der linken Seite:

x_{1} n_{1} + x_{1} n_{2} + x_{3} n_{3} = \vec{p} \cdot \vec{n}

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

17:00 Uhr, 27.07.2016

welchen Normalenvektor hast du jetzt genommen?

n

oder

n_{2}

??

Warum sagt Bummerang ich muss den Normalenvektor addieren zu einem Punkt auf der ebene??

Dann hätte er einfach sagen können , ich soll die Ebenengleichung aufstellen, und zwar von der Normalenform in die Koordinaten form, wie üblich eben.

E_{2} : (x - x_{0}) \cdot n_{2} = 0

Aber was für ein

x_{0}

soll ich nun nehmen?

Tamburin442 aktiv_icon

17:04 Uhr, 27.07.2016

Und welchen Stützvektor meinst du jetzt.

Wir haben hier zwei Ebenen, einmal die gegebene Ebene

E_{1}

inklusive

n_{1}

und die gesuchte

E_{2}

inklusive

n_{2}

.
bitte versuch demnächst genau zu benennen was du jetzt meinst, ich bin durcheinander :-) sry , wenn ich etwas schwer von begriff bin, aber ich finde das echt schwer und nach den Sommerferien mache ich ein Fachabi- Technik, da muss das sitzen !

Roman-22

17:12 Uhr, 27.07.2016

Da die beiden Ebenen parallel sind, haben sie natürlich auch die gleichen Normalvektoren. Welchen du für die Ebenengleichung verwenden möchtest, ist egal, warum nicht gleich den ursprünglichen

\vec{n}

.

Was dir zu deinem Glück (=Gleichung von

E_{2})

nur mehr fehlt, ist ein beliebiger Punkt der Ebenen

E_{2}

.
Und da gabs eben der Vorschlag, zum Ortsvektor eines beliebigen Punktes der gegebenen Ebene den Normalvektor der Länge

2 a

zu addieren um den Ortsvektor eines Punktes der gesuchten Ebene

E_{2}

zu erhalten.

R

Tamburin442 aktiv_icon

17:16 Uhr, 27.07.2016

ja , aber wie mache ich das jetzt??

Ich habe sowas in keinem Buch oder auf einer Webseite gefunden.

Deswegen hoffe ich dass mir jemand einfach die Lösung postet, und mir anschließend erklärt was gemacht wurde.
Es bringt mir nichts seit knapp 5 Stunden selbst nach der Lösung zu suchen, ich kapiere es nicht.

Also bitte postet mir einfach die Lösung dazu und erklärt mir dann genau was gemacht wurde, wir sind sowieso fast am ende der aufgabe.

Ich wäre sehr dankbar, wenn ich das heute endlich abhaken kann.

Ich sehe gerade, dass hier schonmal so ne aufgabe gestellt wurde...

http//www.onlinemathe.de/forum/Gesucht-Parallele-Ebene-im-Abstand

Ich sehe mir das mal kurz an.

Tamburin442 aktiv_icon

17:25 Uhr, 27.07.2016

ich kapiere es einfach nicht.

Bei mir muss außerdem noch die Ebene

E_{2}

unterhalb der Ebene

E_{1}

sein... im Gegensatz zu der Aufgabe in Link.

Roman-22

17:46 Uhr, 27.07.2016

>

Bei mir muss außerdem noch die Ebene

E 2

unterhalb der Ebene

E 1

sein
Das hast du doch schon längst berücksichtigt in dem du den Normalvektor der Länge

2 a

so orientiert hast, dass seine z-Komponente negativ ist, er also "nach unten" zeigt.

Kannst du einen Punkt der gegebenen Ebene angeben?
Such dir einen einfachen aus und addiere endlich den 2a-Vektor.

R

Tamburin442 aktiv_icon

17:49 Uhr, 27.07.2016

Das hab ich doch schon gemacht !

Siehe meinen Post um

16 : 29

Roman-22

18:12 Uhr, 27.07.2016

Hatte ich nicht gesehen. Warum nimmst du nicht den einfacheren Punkt

(0 / 0 / a)

?
Aber egal.
Wo liegt dann jetzt noch das Problem?

Du kennst von einer Ebenen einen Normalvektor, zB

\vec{n} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

und einen Punkt der Ebene mit

(\frac{2 a}{\sqrt{6}} + a | \frac{4 a}{\sqrt{6}} + a | \frac{- 2 a}{\sqrt{6}} + 4 a)

.
Du weißt doch sicher, wie man die Gleichung einer Ebene aufstellt, wenn man einen Punkt und einen Normalvektor der Ebene kennt, oder?
Außerdem hat Funke dir das ja auch schon gepostet:

(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0

oder

\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n}

.

Die Rechnung ist nicht sonderlich schön, aber wenn die Angabe so lautet wie von dir geschrieben, dann ist das eben so und das Ergebnis ist dann nach Vereinfachung relativ kurz.

Zu deiner Kontrolle:

E_{2} : - x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} = (1 - 2 \sqrt{6}) \cdot a

oder

x_{1} + 2 \cdot x_{2} - x_{3} = (2 \cdot \sqrt{6} - 1) \cdot a

R

Tamburin442 aktiv_icon

19:09 Uhr, 27.07.2016

natürlich hätte ich es lieber mit dem Punkt

P = (0,0, a)

gemacht, aber woher weiß ich ob der drauf liegt?

Tamburin442 aktiv_icon

19:22 Uhr, 27.07.2016

stimmt , ich hätte einfach

P_{x} (0, 0, a)

nehmen können, kann man ganz einfach sehen in der ebenengleichung

E_{1} :

n_{2} + r_{x} = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (\begin{matrix} 2 a \\ 4 a \\ - 2 a \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ a \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{2 a}{\sqrt{6}} \\ \frac{4 a}{\sqrt{6}} \\ \frac{- 2 a}{\sqrt{6}} + a \end{matrix})

r_{y} = (\begin{matrix} \frac{2 a}{\sqrt{6}} \\ \frac{4 a}{\sqrt{6}} \\ \frac{- 2 a}{\sqrt{6}} + a \end{matrix})

E_{2} : (x - r_{y}) \cdot n_{1} = 0 (

Ist das hier egal ob ich

n_{1}

oder

n_{2}

nehme??? )

Als Ergebnis kommt bei mir was anderes raus als bei dir:

E_{2} : - x_{1} - x_{2} + x_{3} = - \frac{8 a}{\sqrt{6}} + a

Roman-22

19:24 Uhr, 27.07.2016

>

aber woher weiß ich ob der drauf liegt?
Woher wusstest du, dass

(a / a / 4 a)

drauf liegt?

Du hast eine Gleichung in 3 Variablen gegeben und jeder Punkt, dessen Koordinaten diese Gleichung erfüllen, ist ein Ebenenpunkt.
Also wähle zwei von den drei Größen

x_{1}, x_{2}, x_{3}

beliebig und berechne aus der Ebenengleichung die dritte Koordinate. Du hast offenbar

x_{1} = x_{2} = a

gewählt, ich eben

x_{1} = x_{2} = 0

. Beide Punkte führen natürlich im Endeffekt zur gleichen Ebenengleichung von

E_{2}

R

Tamburin442 aktiv_icon

19:26 Uhr, 27.07.2016

ok danke.

Und hast du dir meinen letzten Post angesehen.
Ich glaube wir haben zeitgleich gepostet deswegen hast du wahrscheinlich meinen letzten post übersehen... :-)?

Roman-22

19:27 Uhr, 27.07.2016

>

ist das hier egal ob ich

n 1

oder

n 2

nehme???
Jeder Normalvektor der Ebenen ist gleichermaßen geeignet.

>

Als Ergebnis kommt bei mir was anderes raus als bei dir:
Dann hast du dich wohl verrechnet. Vielleicht liegt es daran, dass es

... - 2 \cdot x_{2} . .

. lauten muss?

Übrigens - einen Ausdruck wie

\frac{8}{\sqrt{6}}

formt man besser nach

\frac{4 \cdot \sqrt{6}}{3}

um. Man vermeidet irrationale Nenne.

R

Tamburin442 aktiv_icon

19:40 Uhr, 27.07.2016

ja aber warum kann ich

n_{1}

nehmen, wir haben doch vereinbart dass die gesuchte ebene unter der Ebene

E_{1}

liegt.

Ja genau, ich habe mich verrechnet,
ich habe jetzt das gleiche ergebnis wie du heraus, also wenn ich

n_{1}

benutze.

Tamburin442 aktiv_icon

19:48 Uhr, 27.07.2016

Lieber Roman,

kannst du mir bitte nochmal die einzelnen schritte sagen wie ich allgemein vorgehe bei solch einer aufgabe , damit ich das lernen kann.

1. den Normalenvektor normieren ( falls die parallele Ebene unter der gegebenen Ebene sein soll , muss die z-Koordinate

\cdot - 1

genommen werden? )

2.

. .

.

3.

. .

.

4.

. .

.

.
.
.

Roman-22

20:02 Uhr, 27.07.2016

>

ja aber warum kann ich

n 1

nehmen, wir haben doch vereinbart dass die gesuchte ebene unter der Ebene

E 1

liegt.
Die Orientierung und die Länge des Normalvektors is nur wesentlich, um von einem Punkt der Ebene

E_{1}

zu einem Punkt der Ebene

E_{2}

zu kommen.
Zum Aufstellen der Ebenengleichung ist es völlig unerheblich, welchen Normalvektor du wählst.

1)

einen Normalvektor bestimmen, dessen Länge gleich dem geforderten Abstand der Ebenen ist. Dazu erst den bekannten Vektor zum Einheitsvektor normieren (durch seinen Betrag teilen) und dann mit dem gewünschten Abstand multiplizieren. Wenn so unmathematische Zusätze wie "unterhalb", oder "rechts von" oder "vor" gefordert sind, dann muss

u . u

. dieser neue Normalvektor noch mit

- 1

multipliziert werden, damit er in die richtige "Richtung" zeigt. Also wenn "vor" steht, sollte seine x-Komponente positiv sein, bei "unterhalb" seine z-Komponente negativ, bei "rechts" seine y-Komponente positiv.
Das entspricht jedenfalls der üblichen Zuordnung von

x, y, z

zu den "Richtungen" vorne, rechts, oben.

2)

Bestimmung eines beliebigen Punkts der gegebenen Ebene. Meist (aber nicht immer= funktioniert das, indem man sich zwei Koordinaten beliebig wählt und die dritte berechnet.

3)

Addition des unter

1)

ermittelten Normalvektors zum Ortsvektor des unter

2)

ermittelten Ebenenpunkts liefert den Ortsvektor

\vec{p}

eines Punktes der neuen Ebene.

4)

Unter Verwendung eines beliebigen Normalvektors der Ebenen und

\vec{p}

die Ebenengleichung mit

\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p}

aufstellen.

Tamburin442 aktiv_icon

20:06 Uhr, 27.07.2016

booh vielen dank, dann werde ich noch heute eine so ähnliche aufgabe rechnen und versuchen diese selbst zu lösen.

Ich mache dann einen anderen Post auf, und stelle meine ergebnisse hier rein, um zu sehen ob ich das diesemal richtig gemacht habe

. .

. alleine :-)

Vielen dank nochmal alle zusammen und an dich Roman!

\land

Tamburin442 aktiv_icon

11:07 Uhr, 14.08.2016

danke

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