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Parallele Ebenen aufstellen

Schüler Gymnasium,

Tags: aufstellen, eben, parallel, Punkt, Vektor

Steffi18 aktiv_icon

18:41 Uhr, 27.03.2016

Hallo Leute :-)

Bin gerade bei der Klausurenvorbereitung

. .

. Leider haben wir nicht von allen Aufgaben, die wir für die Klausuren machen sollen, eine Lösung.

Ich hab jetzt zwar eine Lösung, weißt halt nicht, ob sie richtig ist

. .

.

Wir sollen
1. eine Ebene aufstellen, die parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene ist und durch den Punkt

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

geht
2. wieder eine Ebene aufstellen, diesmal senkrecht auf x2-Achse und wieder durch Punkt

(5,4,3)

Und es soll aber eine Koordinatenform sein.

Bei 1. hätte ich mir gedacht:

5,4,3

für

x 123

einsetzen, gleich 0 setzen, dann einfach einen normalenvektor so bestimmen, dass 0 rauskommt:

D . h

. meine Ebene schaut so aus:

E : - 4 x_{1} + 5 x_{2} = 0

2. : im Prinzip dasselbe, nur hab ich mir überlegt, dass die Ebene senkrecht auf der x2-Achse steht, also hab ich mir es leicht gemacht, und die

x_{2}

-Achse als normalenvektor (also

z . B

n (010)

verwendet:

E : 4 x_{2} = 0

Stimmt das??

Würde mich über eure Antwort freuen!

Frohe Ostern :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

19:08 Uhr, 27.03.2016

>

Stimmt das??
Leider nein.

bei

1)

sagst du nicht, WO du eigentlich einsetzt und wie genau du auf deine (falsche) Gleichung kommst. Deine Ebene enthält zwar den Angabepunkt aber sie ist erstprojizierend,

d . h

. sie steht normal zur Grundrissebene

x_{1} x_{2},

liegt also nicht parallel zu ihr.
Wenn eine Ebene zur Grundrissebene

x_{1} x_{2}

parallel ist, dann müssen doch alle ihre Punkte die gleiche

x_{3}

-Koordinate haben, oder? Damit solltest du schnell auf die gesuchte Gleichung kommen.

bei

2)

kommst du auf die Gleichung

x_{2} = 0

. Das ist die Gleichung der Kreuzrissebene

x_{1} x_{3}

. Die steht natürlich senkrecht zur

x_{2}

-Achse, enthält aber nicht den Angabepunkt. Du kannst leicht selbst verifizieren, dass die Koordinaten des Punkts

(5 / 4 / 3)

diese Gleichung nicht erfüllen.
Wenn eine Ebene senkrecht zur

x_{2}

Achse liegt, dann ist sie auch parallel zur Kreuzrissebene

x_{1} x_{3}

. Damit hast du im Grunde eine zu

1)

analoge Aufgabe.

R

Steffi18 aktiv_icon

19:35 Uhr, 27.03.2016

vielen Dank für die Antwort!

Ich setze in die Gleichung ein:

E : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + c = 0

Vielleicht war zusätzlich mein Fehler, dass ich das

c

in der Rechnung weggelassen habe:
Eingesetzt hat das so ausgeschaut

: 5 \cdot (- 4) + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 0

So bin ich dann bei 1. auf die Ebene

- 4 x 1 + 5 x 2 = 0

gekommen...

Bei der 2. hab ich wieder in die Gleichung ohne

c

eingesetzt, und einen Vektor der x2-Achse

(z . B

(010))

als Normalenvektor verwendet:
Wenn man alles einsetzt:

E : 5 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0,

kommt bei mir

E : 4 x 2 = 0

raus ..

Leider verstehe ich noch nicht so ganz, wie ich jetzt

z . B

. auf die x3-Koordinate komme

. .

rundblick aktiv_icon

19:49 Uhr, 27.03.2016

,
"Ich setze in die Gleichung ein:

E : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + c = 0

\to

ok .. und nun kennst du zB bei der ersten den
Normalenvektor

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

.

also

\to ...

?
.

Steffi18 aktiv_icon

19:56 Uhr, 27.03.2016

So?

E : 0 \cdot 5 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + c = 0 \to c = - 3

- \to E : x 3 - 3 = 0

Aber wie mache ich es dann bei der 2?

rundblick aktiv_icon

20:00 Uhr, 27.03.2016

.
"So?"
na klar

.. aber ist dir auch klar, warum

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

für

E_{1}

ein möglicher Normalenvektor ist ?

\to

?

" Aber wie mache ich es dann bei der 2? "

genau gleich

\to

überlege dir zuerst wie ein Normalenvektor zu

E_{2}

aussehen müsste ..

also ..
.

Steffi18 aktiv_icon

20:09 Uhr, 27.03.2016

ah, weil das ein Richtungsvektor der x3-Achse ist, die senkrecht auf der x12-Ebene steht?

Und bei der 2 könnte ich wieder die x3-Achse nehmen, weil die eben senkrecht auf der x2-Achse steht?

Roman-22

20:14 Uhr, 27.03.2016

>

−→E:x3−3=0
Ja, oder eben

x_{3} = 3

Denn wie schon geschrieben, müssen wohl alle Ebenenpunkte dieselbe

x_{3}

-Koordinate haben und ein Punkt mit der

x_{3}

-Koordinate 3 ist schon vorgegeben. Also besser Lösung durch einfaches Hinsehen, ganz ohne Einsetzen oder Normalvektor bestimmen.

>

Aber wie mache ich es dann bei der 2?
Nun, entweder beachtest du meinen Hinweis von vorhin und löst die Aufgabe analog wie eben beschrieben durch Hinseshen, oder du möchtest es wieder ein wenig aufwändiger betreiben. In letzterem Fall machst du eben auch genau das gleiche wie bei

1),

denn einen Normalvektor der Ebene hast du ja schon in deinem ersten Post angegeben.

Deinen eben vorgebrachter Vorschlag mit

x_{3}

als Normalvektor solltest du schnell wieder vergessen.

R

rundblick aktiv_icon

20:16 Uhr, 27.03.2016

.
nein... hast du den Aufgabentext genau gelesen ?

" eine Ebene die senkrecht zur x2-Achse ist .."

\to

in welche Richtung wird dann wohl ein Normalenvektor zu

E_{2}

zeigen ??
also : wer oder was ist senkrecht zur Ebene

E_{2}

\to .

.

oh sorry -
..der heimliche Herumschleicher ist ja doch noch da - wie soll man das denn ahnen?

deshalb: Tipp für Roman-22

\to

Grüner Punkt →
Mein Bereich - Profil - Privatshäre - Wer darf meinen Onlinestatus sehen - "Haken"
.

Steffi18 aktiv_icon

20:41 Uhr, 27.03.2016

Vielen Dank an euch beide!

Eine Ebene, die senkrecht zur x2-Achse steht, ist eine Ebene, die zur x13-Ebene parallel ist .

Also kann man doch

z

. B. eben die x2-Achse als Normalenvektor nehmen, oder?

\to E 2 : x 2 - 4 = 0

rundblick aktiv_icon

20:45 Uhr, 27.03.2016

. sieh da

\to

geht doch bestens

. .!

ach ja

\to

wäre auch

3 x_{2} = 12

eine richtige Gleichung für

E_{2}

?

.

Roman-22

21:12 Uhr, 27.03.2016

@rundblick

>

oh sorry -
Kein Grund, sich zu entschuldigen. Jedenfalls nicht dafür, dass du eben auch hier Hilfestellung leistet. Da soll doch kein Monopol des Erstantworters sein.
Je schneller ein Fragesteller Hilfe bekommt, umso besser.

ABER:

>

..der heimliche Herumschleicher ist ja doch noch da - wie soll man das denn ahnen?

>

deshalb: Tipp für Roman-22 →

>

Grüner Punkt →
Was soll denn das werden? Die rundblickende Gouvernante will mir jetzt aber nicht ernsthaft vorschreiben, wie und mit welchen Einstellungen ich diesen Forum benutzen soll oder gar darf, oder?
Die Welt ist eben nicht immer so einfach, wie es sich der kleine Rundblicker vorstellt. Verschiedene Teilnehmer nutzen dieses Forum auch unterschiedlich. Bei mir zB würde dieser grüne Punkt, auf den rundblick, wie er schon oft bewiesen hat, in eigentümlich übersteigerter Manier fixiert ist,

u . U

. tagelang permanent leuchten, denn der Rechner mit eventuell geöffnetem Forum in einem Tab läuft eben durch. Das bedeutet weder, dass ich vor dem Rechner sitze, noch, dass ich mich gerade diesem Forum oder diesem speziellen Thread widme. Der grüne Punkt wäre also in höchstem Maße irreführend für andere Teilnehmer. Darum ist es gut, dass man dieses Feature ausschalten kann.

Tipp für rundblick

\to

Bevor du also solch dümmliche Anmerkungen bzgl. heimlichen Herumschleichens udgl. machst, solltest du vielleicht besser ein wenig (gern auch über deinen Tellerrand hinaus gehend) nachdenken. Dieses Nachdenken könnte uns vielleicht auch sonst die eine oder andere deiner zynischen, sarkastischen Bemerkungen ersparen.

R

Stephan4

10:17 Uhr, 28.03.2016

Auch wenn diese Aufgabe schon gelöst ist:

Wer diese parameterfreie Formel für die Ebene

E : \vec{X} \cdot \vec{n} = \vec{P} \cdot \vec{n}

kennt, kommt damit schnell zum Ziel.

1 .)

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow z = 3

2 .)

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow y = 4

Dies, ohne die bisherigen Erläuterungen in den Schatten stellen zu wollen, die zweifellos einen wichtigen Beitrag zum allgemeinen Verständnis leisten.

Übrigens, weil gerade Ostern ist: Auch ich schleiche hier um den Gelehrten bei seinem Osterspaziergang wie der im schwarzen Pudelskleid getarnte Teufel herum

(s

. Goethe, Faust), indem ich einfach eine Option nutze, die dieses Forum zur Verfügung stellt.

:-)

rundblick aktiv_icon

12:19 Uhr, 28.03.2016

.
"

u . U

.
tagelang permanent leuchten, denn der Rechner mit eventuell geöffnetem Forum
in einem Tab läuft eben durch"

es wird ja immer besser - da gibt es Herumschleicher, die offenbar nicht mal wissen
wie ein Computer ausgeschaltet werden kann und die Angst haben, sie könnten sogar
tagelang grün leuchten. Super !

und andere schleichen als "getarnte Teufel herum" und finden sich ganz toll, weil sie
eine Versteck-Option nutzen können, damit man ihre langen Ohren an Ostern nicht sieht..

aber ganz im Ernst:
weil ich es schätze, sehen zu können, dass ein Fragesteller anwesend ("grüner Punkt")
ist, auf eine Antwort wartet und gegebenenfalls auch in vernünftiger Zeit Rückfragen
und Reaktionen zu erwarten sind, finde ich es halt fair, umgekehrt auch nicht
undercover herumzugeistern .. auch wenn verklemmte Typen diese Möglichkeit schätzen ..
- na ja.. jeder nach seiner Art..

.

Roman-22

14:49 Uhr, 28.03.2016

@rundblick
Dass dein geliebter grüner Punkt nicht unbedingt das signalisiert, was du so gern naiv hinein interpretierst, hatte ich versucht dir klar zu machen.
Zu verstehen, was man dir schreibt, bist du aber offenbar nicht in der Lage, zum Nachdenken, bevor du uns mit deinen Ergüssen belästigst, entweder nicht fähig oder nicht willens. Und so schaffst du es doch immer wieder, dein Niveau noch weiter zu senken.

In der Sache selbst wäre damit jedwege Replik ohnedies müßig.

R

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