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Parameter-Lineare Kombination von Vektoren

Schüler Gymnasium,

Tags: Linearkombination, Linearkombination von Vektoren, Paramter, Vektor

Gabriela123 aktiv_icon

17:57 Uhr, 13.03.2014

Hallo!

Bei einer Aufgabe habe ich ein bisschen Probleme. Ich habe zwar eine Lösung, bin mir aber nicht sicher, ob sie richtig ist.
Gesucht sind die reellen Zahlen a die nicht für Vektor x als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar ist.
Vektor x= (a+2;2a;a), Vektor a= (1;1;0), Vektor b=(2;1;1)

Ich habe ein Gleichungssystem aufgestellt (die gleichen Schritte, wenn man herausfinden möchte, ob Vektoren als Linearkombination dargestellt werden können). Ich habe also r und s herausgefunden und dann a. Bei allen habe ich 1 raus und dann war ich mir sicher, dass ich es komplett falsch gelöst habe. Ich bin mir sicher, dass mein Ansatz falsch ist.
Ich möchte nur wissen wie man in diesem Falle a herausfinden kann. Ein Ansatz reicht mir schon :-)

Danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Umirin aktiv_icon

18:15 Uhr, 13.03.2014

\vec{x}

soll keine Linearkombination der beiden Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

sein. Dazu müssen wir also eine Ungleichung

\vec{x} \neq λ_{1} \cdot \vec{a} + λ_{2} \cdot \vec{b}

lösen.

a + 2 \neq λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} \cdot 2

2 a \neq λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} \cdot 1

a \neq λ_{2} \cdot 1

Nun haben wir ein Un-GLS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Zunächst erkennen wir, dass

a \neq λ_{2}

ist und das können wir in eine der oberen beiden Gleichungen einsetzen, zum Beispiel in

(2)

2 a \neq λ_{1} \cdot 1 + a \cdot 1

a \neq λ_{1}

Damit ist auch

λ_{1} \neq a

. Eingesetzt in Gleichung

(1)

ergibt das:

a + 2 \neq a + a \cdot 2

a + 2 \neq 3 a

2 \neq 2 a

a \neq 1

Deine Lösung war also richtig.
Wenn du dir unsicher bist, dann mach die Probe:
Setze 1 für a ein. Der Vektor

\vec{x}

muss dann eine Linearkombination aus

\vec{a}

und

\vec{b}

sein.

3 = λ_{1} + λ_{2} \cdot 2

2 = λ_{1} + λ_{2}

1 = λ_{2}

Mit

(3)

wird aus

(2) : 2 = λ_{1} + 1 \Leftrightarrow λ_{1} = 1

Und in

(1)

eingesetzt:

3 = 1 + 2

Stimmt also. Solange

a = 1

ist, ist

\vec{x}

eine Linearkombination von

\vec{a}

und

\vec{b}

. Jetzt setzen wir mal etwas anderes für a ein, zum Beispiel 2. Dann dürfte es keine Linearkombination mehr geben.

4 = λ_{1} + λ_{2} \cdot 2

4 = λ_{1} + λ_{2}

2 = λ_{2}

Das GLS brauchen wir gar nicht erst durchzurechnen, denn wir sehen anhand der ersten beiden Gleichungen, dass ein Widerspruch vorliegt. Es kann entweder nur

λ_{1} + λ_{2} \cdot 2 = 4

ergeben oder

4 = λ_{1} + λ_{2},

nicht aber beides gleichzeitig.

Gabriela123 aktiv_icon

18:53 Uhr, 13.03.2014

Gibt es aber nicht mehr Lösungen? Bei der Aufgabenstellung steht ""für welche reellen Zahlen..."

Gabriela123 aktiv_icon

18:59 Uhr, 13.03.2014

Oder ich glaube ich weiß die Lösung. A muss also größer als 1 sein, oder?

Umirin aktiv_icon

19:27 Uhr, 13.03.2014

"Für welche reellen Zahlen...?" bzw. "Gesucht sind die reellen Zahlen a die NICHT für Vektor

x

als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar ist."

Für alle reellen Zahlen außer 1. Die Lösung lautete doch

a \neq 1

. Das heißt, für alle Zahlen ungleich 1 gibt es KEINE Linearkombination.

Gabriela123 aktiv_icon

18:46 Uhr, 14.03.2014

Vielen Dank für Ihre Hilfe :-)

Umirin aktiv_icon

19:09 Uhr, 14.03.2014

Bitteschön!

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