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Parameter bestimmen, sodass Vektor orthogonal ist
Universität / Fachhochschule
Skalarprodukte
Tags: Kreuzprodukt, orthogonal, orthogonalität, Skalarprodukt, Vektorprodukt
 
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Guten Abend zusammen, ich sitze vor der folgenden Aufgabe und komme nicht weiter. Ich soll die Zahlenwerte a und so bestimmen, so dass orthogonal auf und steht. Und zwar einmal mittels Skalarprodukt und dann zusätzlich auch mittels Vektorprodukt. Mich irritiert hier, dass ich sozusagen rückwärts vorgehen muss. Ich kann via Kreuzprodukt den orthogonalen Vektor zu zwei gegebenen Vektoren ermitteln und kann dann auch via Skalarprodukt die Probe durchführen (es muss jeweils Null herauskommen). Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren so sind diese orthogonal zueinander. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen dritten Vektor, der jeweils orthogonal zu den beiden ursprünglichen Vektoren ist. Nun habe ich hier aber bereits einen Vektor gegeben und weiß nun nicht, wie ich vorgehen muss. Ich vermute, dass ich ein Gleichungssystem aufstellen muss um die Werte zu ermitteln, aber ich komme einfach nicht darauf. Hat jemand von Euch einen Tipp oder einen Ansatz für mich, wie ich die Aufgabe sowohl via Skalarprodukt als auch via Vektorprodukt lösen kann? Viele Grüße Philippus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebenen in Normalenform Flächeninhalte Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Skalarprodukt Vektorprodukt Volumen einer Pyramide |
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Vektorprodukt: Schreibe einmal das Ergebnis deines Vektorproduktes und den gegebenen Vektor nebeneinander und überlege, was die beiden miteinander zu tun haben. Skalarprodukt: Die zweimalige Anwendung des Skalarproduktes liefert zwei Gleichungen für a und . |
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Guten Abend Respon, das Vektorprodukt sieht aus wie folgt: Wenn ich diesen Vektor mit multipliziere, dann erhalte ich an der obersten Stelle eine wie in dem gegebenen Vektor . Das würde bedeuten: und also . Wenn ich nun das Skalarprodukt von und sowie von und bilde, dann erhalte ich jeweils eine 0. Die Orthogonalität wäre also bewiesen. Das wäre soweit korrekt, oder habe ich noch einen Denkfehler eingebaut? Zum Lösungsweg via Skalarprodukt versuche ich die Gleichungen aufzustellen und melde mich dann wieder. Vielen Dank schon einmal für Deine Antwort! Viele Grüße Philippus |
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Rechnung ist korrekt. Nur noch zur Beantwortung der Frage : Wie stehen und zueinander ? |
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Lösungsweg via Skalarprodukt: Daraus ergeben sich nun folgende Gleichungen: I. II Ich forme um: I. II. und setze dann in II. ein: Daraus ergibt sich: Dieses setze ich nun ein eine bzw. beide Ausgangsgleichungen ein und erhalte . Das sind die gleichen Werte wie oben, somit sollten sie korrekt sein. Nun zu Deiner Frage, wie und zueinander stehen. Ich bin mir nicht sicher, aber sollten diese Vektoren nicht parallel zueinander stehen? Viele Grüße Philippus |
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"aber sollten diese Vektoren nicht parallel zueinander stehen?" Korrekt, und daher muss der eine Vektor ein Vielfaches des anderen sei. mit Vektoren sind gleich, wenn sie in ihren Komponenten übereinstimmen. Also usw. Ja, das wär's. |
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Vielen Dank für Deine Hilfe, Respon! Ich wünsche Dir einen schönen Abend! Viele Grüße Philippus |
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