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Parameteraufgabe Vektorrechnung

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Abhängigkeit, Linear, Parameter, Vektor

cooltrader01 aktiv_icon

15:04 Uhr, 08.03.2010

Seruvs Leute,

hier eine Hausaufgabe an der ich verzweifle. Keiner meiner Ansätze funktioniert und endet in widersprüchlichen Aussagen. Die Lösung für a ist ca. 2,485 Allerdings bin ich hiervon weit entfernt. Mit dem Gauss'schen Algorithmus komme ich hierbei nicht weit. Für jede Hilfe, Tipps, Anregungen, Lösungen bin ich dankbar.

Hier die Aufgabe:

Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen $a,$ für die die Vektoren linear abhängig sind.

$(\frac{3}{\frac{1}{a}})$ , $(\frac{1}{\frac{- 1}{- 2}})$ , $(\frac{6}{\frac{a}{6}})$

Danke schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

smoka

15:11 Uhr, 08.03.2010

Wieso kommst Du hier mit Gauß nicht weit?
Pack die Vektoren in eine Matrix und bring sie auf Zeilen-Stufen-Form.

cooltrader01 aktiv_icon

15:23 Uhr, 08.03.2010

Was meinst du mit Matrix und mit Zeilen-Stufen-Form? Ich kenne es nur so, dass man die Zeilen in Dreiecksform bringt und der Reihe nach durch Rückeinsetzung auflöst. Allerdings komme ich damit hier nicht klar, aufgrund von

a

smoka

15:57 Uhr, 08.03.2010

Das ist eine Matrix:

M = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 6 \\ 1 & - 1 & a \\ a & - 2 & 6 \end{array})

Mit Zeilen-Stufen-Form meine ich eine Dreiecksform.
Lass Dich von dem a nicht stören, behandle es wie eine Zahl wenn Du soweit bist kannst Du dann das a so bestimmen, dass die Vekotren l.a. sind.

cooltrader01 aktiv_icon

18:04 Uhr, 08.03.2010

Ok.. ich hab' so eine Matrix noch nie gesehen..kannst du mir das vielleicht mal erklären? Also wie man damit rechnet? Ich erkenne das System dahinter

M =

1.Zahl des 1. Vektors, 1. Zahl des 2. Vektors, 1. Zahl des 3. Vektors und 2. Zahl des 1. Vektors

- 2

. Zahl des 2. Vektors usw.

. .

. aber wie geht's dann weiter? Wäre cool wenn du mir das mal zeigen könntest.

Den Ansatz, den wir kennen gelernt haben, sieht so aus:

(\frac{3}{1} / a) \cdot r + (\frac{1}{- 1} / - 2) \cdot s + (\frac{6}{a} / 6) \cdot t = (\frac{0}{0} / 0)

daraus 3 Gleichungen:

3 r + s + 6 t = 0

r - s +

= 0

- 2 s + 6 t = 0

Ich komme dann für a durch Umformen ins Dreieck und Rückeinsetzung die lustigsten a Werte raus

(z . B

. 8 oder

- 4)

aber bei der Überprüfung stellen sie sich als falsch raus.

Die Sache mit der Matrix würde mich interessieren.

smoka

18:09 Uhr, 08.03.2010

Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29
und de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Jordan-Algorithmus

Aber im Prinzip ist Gauß-Algorithmus nichts anderes als das was Du kennst.

Wie sieht denn Dein umgeformtes Dreieck aus?

cooltrader01 aktiv_icon

18:23 Uhr, 08.03.2010

Mein Dreieck sieht so aus:

ar

- 2 s + 6 t = 0

2 s - t (3 a + 6) = 0

4 s - t (6 - 3 a) = 0

So... wenn ich jetzt weiter umforme (musste mir den Kram gerade noch einmal aufschreiben, weil ich die vorigen Versuche weggeworfen habe) komm ich gar nicht mehr klar.
Bin inzwischen total konfus.

Danke übrigens schonmal, dass du mir hilfst.

magix aktiv_icon

12:32 Uhr, 09.03.2010

Ich finde Gauss hier auch grässlich kompliziert. Ich hätte einen wesentlich einfach zu berechnenden Vorschlag auf Lager. Hast du schon mal was von Determinanten und der Regel von Sarrus gehört?

Vorgehensweise: Du stellst aus den drei Vektoren folgende Matrix auf:

(\begin{matrix} 3 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & a & 1 & - 1 \\ a & - 2 & 6 & a & - 2 \end{matrix})

Dann wird die Diagonale von links oben nach rechts unten multipliziert und mit der nächsten Diagonalen rechts davon, die auch aufmultipliziert wird, addiert. Ebenso wird die dritte Diagonale multipliziert und dann dazuaddiert.
Die Diagonalen von links unten nach rechts oben, werde dann davon abgezogen.
Ich machs mal vor:

3 \cdot - 1 \cdot 6 + 1 \cdot a \cdot a + 6 \cdot 1 \cdot - 2 - (a \cdot - 1 \cdot 6 + (- 2) \cdot a \cdot 3 + 6 \cdot 1 \cdot 1)

Die Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn diese Summe 0 ergibt, also

3 \cdot - 1 \cdot 6 + 1 \cdot a \cdot a + 6 \cdot 1 \cdot - 2 - (a \cdot - 1 \cdot 6 + (- 2) \cdot a \cdot 3 + 6 \cdot 1 \cdot 1) = 0

- 18 + a^{2} - 12 - (- 6 a - 6 a + 6) = 0

a^{2} - 30 + 12 a - 6 = 0

a^{2} + 12 a - 36 = 0

Und jetzt muss man nur noch die pq- oder Mitternachtsformel anwenden und erhält für

a 2,485 . .

.

Du kannst jetzt sagen: Haben wir noch nicht gehabt und drum darf ich das nicht anwenden. Ich bin immer der Meinung, was man weiß, weiß man und warum sollte man es nicht verwenden, wenn es praktisch ist. Mathe soll Spaß machen und das tut es immer dann, wenn man seine Zeit nicht mit mühseligem Rumgerechne verbringt, sondern sich den wirklich wichtigen Überlegungen dieses Faches widmen kann.

Gruß Magix

cooltrader01 aktiv_icon

14:04 Uhr, 09.03.2010

Super Magix!

Danke für deine Hilfe. So ist es wesentlich einfacher und schneller berechnet.

Was deine Anmerkung angeht, kann ich dir nur zustimmen.

Unserem Lehrer ist es aber weitesgehend egal, welchen Rechenweg wir nutzen.

Er muss nur richtig und nachvollziehbar sein.

Danke!

cooltrader01 aktiv_icon

14:05 Uhr, 09.03.2010

cooltrader01 aktiv_icon

14:05 Uhr, 09.03.2010

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