Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Parameterform: Ebene aus zwei Gerade definieren

Parameterform: Ebene aus zwei Gerade definieren

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Vektorgeometrie

Experience aktiv_icon

00:41 Uhr, 24.12.2010

Hey,
ich soll aus zwei Geraden eine Ebene bestimmen. Eine Lösung habe ich dazu ebenfalls, kann sie dennoch nicht vollständig nachvollziehen. Hier die beiden Geraden:

g : x = (5 / - 3 / 4) + s \cdot (1 / 0 / - 3)

h : x = (7 / 6 / - 2) + t \cdot (0 / - 4 / 1)

Die Bedingung ist ja, dass beide Geraden nicht parallel zueinander sind und dass beide Startvektoren in der Ebene liegen müssen, oder? Die Lösung sieht nun vor, die einzelnen Richtungsvektoren zu nehmen und als Stützvektor den Startvektor von

g : x

(mit der Begründung, das eben dieser in der Ebene liege) - allerdings liegt dann doch der Startvektor von

h : x, (7 / 6 / - 2),

nicht mehr in der Ebene?! Kann man es sich so leicht machen?
Frohe Weihnachten,

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Bummerang

01:28 Uhr, 24.12.2010

Hallo,

"Die Bedingung ist ja, dass beide Geraden nicht parallel zueinander sind und dass beide Startvektoren in der Ebene liegen müssen, oder?"

Nicht unbedingt! Eine Ebene kann auch durch 2 parallele Geraden gegeben sein. Was nicht geht, ist eine Ebene durch zwei windschiefe Geraden zu legen. Auch zwei aufeinanderfallende Geraden (aufeinanderfallend ist ein Sonderfall von parallelen Geraden) sind nicht für die Bestimmung einer eindeutigen Ebene geeignet.

Wenn die beiden Geraden sich schneiden, dann kann man genauso vorgehen, wie Du es beschrieben hast. Man nimmt einen der beiden Stützpunkte und die beiden Richtungsvektoren mit jeweils einem Parameter und man ist fertig. Bei (echt) parallelen Ebenen muss man erst einen zweiten unabhängigen Vektor finden. Den findet man durch den Vektor zwischen den beiden Stützpunkten. Man nimmt in diesem Fall also ebenfalls einen der beiden Stützpunkte und einen der beiden Richtungsvektoren mitsamt seinem Parameter (welcher, das ist egal, da bei parallelen Geraden die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind) und als zweiten Richtungsvektor den Vektor zwischen den Stützpunkten mitsamt einem Parameter.

Wie Du siehst, darf man nicht einfach loslegen, man muss zunächst die Lage der Geraden zueinander bestimmen. In zwei der Fälle ist eine eindeutige Ebene mit wenig Aufwand berechenbar. In einem Fall gibt es unendlich viele Lösungsebenen und im letzten Fall gar keine Ebene.

Ebenfalls Frohe Weihnachten.

Experience aktiv_icon

11:51 Uhr, 24.12.2010

Hey,

danke für die umfassende Antwort. Sie hat mir bereits sehr geholfen. Leider verstehe ich einen Teilaspekt noch immer nicht:

Wenn man diese zwei Geraden auf die geschilderte Art & Weise in eine Ebene zusammenführt, so liegt anschließend nur eine der beiden Startvektoren der Geraden auf der Ebene, nämlich jener, der als Stützvektor fungiert. Der andere Startvektor wird ja "einfach rausgelassen" und liegt auch nicht mehr in der Ebene, wohl aber ja in der Gerade. Das darf doch eigentlich nicht sein?!

BeeGee aktiv_icon

14:05 Uhr, 24.12.2010

Falls

g

und

h

sich schneiden, liegt der Aufhängepunkt von

h,

also der Punkt, auf den der Stützvektor zeigt, selbstverständlich auch in der durch

g

und

h

definierten Ebene.

Sind

g

und

h

aber windschief

(d . h

. sie schneiden sich nicht, sind aber auch nicht parallel), können sie auch keine Ebene bilden. Dies ist in Deinem Beispiel der Fall. Dass die Richtungsvektoren nicht linear abhängig, also nicht parallel sind, erkennt man auf Anhieb. Versuchen wir nun,

g

und

h

zu schneiden, erhalten wir:

5 + s = 7

also

\to s = 2

- 3 = 6 - 4 t

also

\to t = \frac{9}{4}

4 - 3 s = - 2 + t

Wenn wir

s

und

t

in die letzte Gleichung einsetzen, erhalten wir einen Widerspruch. Folglich schneiden sich die Geraden nicht und sind daher windschief. Somit gibt es auch keine Ebene, die beide Geraden enthält.

Frohe Weihnachten!

aleph-math aktiv_icon

17:17 Uhr, 24.12.2010

ho-ho-ho!

@BUmerang: ".. Bei (echt) parallelen *Ebenen* muss man erst einen zweiten unabhängigen Vektor finden. Den findet man durch den Vektor zwischen den beiden Stützpunkten..."

Kl. Korrektur: Auf Ebenen wollen wir ja erst kommen; die Ausgangsobjekte sind *GERADEN*, keine *Ebenen*!

@BeeGee: Stimmt, die Geraden schneiden sich nicht, also können sie im klass. Sinne nicht in 1 Ebene liegen. Aber: die Aufg. heisst (s.ob.): "..ich soll aus zwei Geraden eine Ebene bestimmen.."
Jetzt eine viell. gewagte Interpretation: Aus 2 Objekten ein 3.es zu bilden, heisst ja nicht unbedingt, die Ausgangsobj. vollständig zu gebrauchen, da darf auch was übrig bleiben, u. das ist hier einer der Stützvekt. Demnach liessen sich aus den Anfangsbed. 2 (parall.) Ebenen bilden:

e_{1} : x = (5, - 3, 4)^{T} + s (1, 0, - 3)^{T} + t (0, - 4, 1)^{T}

e_{2} : x = (7, 6, - 2)^{T} + s (1, 0, - 3)^{T} + t (0, - 4, 1)^{T}

.

Ist viell. etwas "um die Ecke" gedacht, aber nicht unlogisch, oder?

Frohe & (vor allem) erholsame Weihn.! -GA

BeeGee aktiv_icon

14:33 Uhr, 25.12.2010

Frohe Weihnachten allerseits!

@alephmath: Naja, auf Deine Weise könnte man die Frage natürlich auch interpretieren. So verwegen wollte ich aber nicht um die Ecke denken :-).

Experience aktiv_icon

13:35 Uhr, 29.12.2010

Hey,
danke für die Bemühungen.
Als Lösung resultiert definitiv wie beschrieben eine Ebene. Die Bedingung ist laut Aufgabe, dass beide Geraden in der Ebene liegen. Weil sie nicht parallel sind, könne man nun die Richtungsvektoren als Spannvektoren nehmen. So weit so gut, dies ist für mich verständlich und von euch ja auch schon beschrieben worden. Mein Problem ist aber, dass als Lösung folgende Ebene vorgegeben ist:

E : x = (5 / - 3 / 4) + s \cdot (1 / 0 / - 3) + t \cdot (0 / - 4 / 1)

Warum nun

(5 / - 3 / 4)

?! Das ist der Stützvektor von

g : x,

aber ich kann doch nicht einen einen Stützvektor der beiden Geraden nehmen und den anderen außer Acht lassen?! Jetzt liegen doch gar nicht beide Geraden in der Ebene, da ich den einen Stützvektor überhaupt nicht beachtet habe - wie ist das zu erklären, dass die Lösung anscheinend trotzdem richtig ist?
(Quelle der Aufgabe ist übrigens das Top-im-Abi-Buch)
Lieben Gruß,

EDIT:
Und als Test könnte ich doch auch einfach mal den anderen Stützvektor nehmen, der eben nicht beachtet wurde, also

(7 / 6 / - 2)

und ihn in die Ebenengleichung einsetzen:

(7 / 6 / - 2) = (5 / - 3 / 4) + s \cdot (1 / 0 / - 3) + t \cdot (0 / - 4 / 1)

Wenn beide Geraden wirklich in der Ebene liegen, müsste es hierfür doch eine Lösung geben, die kann ich allerdings nicht erkennen?

aleph-math aktiv_icon

16:18 Uhr, 29.12.2010

Hallo!

Siehe mein vor. Beitrag: die beiden Ebenen e1 & e2 sind offens. parallel, da ihre Richtg.vekt. gleich sind. Parallele Obj. mit gleichen Dim. sind kongruent (deckungsgleich), dh. alle Operat. gelten in beiden Obj. u. führen zum gleichen (evtl. nur verschob.) Ergebnis. Damit gilt für die Obj. etwas ähnl. wie für period. Funkt. (zB. sin30 = sin150 = 0,5) u. sie müssen nicht als getrennte Obj. betrachtet werden. Desh. genügt auch hier die Angabe EINER Eb., um alle Berechn. auch für die and. durchführen zu können.

Mit and. Worten: eine zu h parallele Gerade durch den Startvektor von g ist prakt. h, liegt aber ganz in Eb.1. Analoges gilt nat. für g & Eb.2.

Daß beide Ger. in der Urform NICHT gleichz. in 1 Eb. liegen KÖNNEN, haben mehrere Beiträge def. bewiesen!

Bei der Gelegenh. ein Wort zu Übg.- u. insbes. Lösg.büchern/heften: Man muß nicht alles glauben, auch wenn es "sw auf ws" gedruckt ist! Ich hab schon oft Fehler in Aufg. & noch mehr in sog. Lösg. gefunden!

Also im Zweifelsfall mehr Selbstvertrauen! Alles Gute & viel Erfolg! -GA

836365

835822

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?