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Parameterfreie Darstellung

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Parameter, Vektroen mit

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19:04 Uhr, 03.12.2010

Hallo, kann die mal einer Kontrollieren:

Geben Sie die Gleichung der Ebene durch die Punkte

B, C

und

D

in einer Parameterfreien Form an.

B (- 2,3,0) C (1,3,4) D (- 1, - 3,4)

Mein Rechenweg:

Parameter Darstellung:

x = b + s \cdot (c - b) + t \cdot (d - b)

x = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 6 \\ 4 \end{matrix})

- 2 + 3 s + t = x 1

3 - 6 t = x 2 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{6} x 2 + 0,5

4 s + 4 t = x 3

t \in I :

- 2 + 3 s + (- \frac{1}{6} x 2 + 0,5) = x 1

s = \frac{1}{3} x 1 + \frac{1}{18} x 2 + 0,5

t

und

s

in III

4 (\frac{1}{3} x 1 + \frac{1}{18} x 2 + 0,5) + 4 (- \frac{1}{6} x 2 + 0,5)

1 \frac{1}{3} x 1 + \frac{2}{9} x 2 + 2 - \frac{2}{3} x 2 + 2 = x 3

1 \frac{1}{3} x 1 - \frac{4}{9} x 2 + 4 = x 3

1 \frac{1}{3} x 1 - \frac{4}{9} x 2 - x 3 + 4 = 0

Ist das richtig? Ich bezweifle es ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

maxsymca

20:02 Uhr, 03.12.2010

Das zu bestätigen ist einfach...
Setze die Punkte in Deine gefundene Ebenengleichung ein und bestätige, dass sie in der Ebene liegen - Kopfrechenübung!

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20:22 Uhr, 03.12.2010

also Falsch?!

was genau hab ich falsch gemacht???

maxsymca

20:33 Uhr, 03.12.2010

Wieso falsch, wenn ich die Punkte einsetzte, wird die GLeichung bestätigt...

Jibril aktiv_icon

20:59 Uhr, 03.12.2010

ach so..cool danke, dann habe ich aber noch eine Frage, die meine Rechnung falsch aussehen lässt..

also habe hier eine Musterlösung von der Afg (siehe AB das ich hochgeladen habe) die nach einem anderen Rechenverfahren gelöst wurde (die meiner Meinung auch ziemlich einfach aussieht, nur verstehe ich nicht ganz wie man die macht und ich wollte es nach meiner üblichen Methode versuchen)
und da haben wir als Ergebnis :

24 x 1 - 8 x 2 - 18 x 3 + 72 = 0

maxsymca

21:24 Uhr, 03.12.2010

Die Lösung greift auf die Normalenform einer Ebene zurück

\vec{n}

([\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] - \vec{P}) = 0

die Vektor-Schreibweise von

n_{1} \cdot x_{1} + n_{2} \cdot x_{2} + n_{3} \cdot x_{3} + c = 0

zurück.

\vec{n}

ist der Normalenvektor der senkrecht zur Ebene steht,

P

ist ein Punkt der Ebene.
Aus den Richtungsvektoren wird mittels Vektorprodukt der Normalenvektor berechnet und mit

P = B

die Normalenform gebildet!
Du kannst Deine Gleichung mit

\frac{72}{4}

erweitern und kommst auf die Gleichung der Lösung..

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21:56 Uhr, 03.12.2010

Vielen Dank für deine Hilfe....

hab es ehrlich gesagt, noch nicht ganz Verstanden, weil mir diese Form unbekannt ist.
wäre es möglich, sofern du Zeit hast, es mir etwas ausführlicher zu erklären?

ansonsten Trotzdem DANKE!

maxsymca

22:03 Uhr, 03.12.2010

Multiplizier doch einfach die vektorielle Normalenform aus, sei

\vec{n} = [\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}]

dann sieht Du das Ergebnis...

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16:59 Uhr, 06.12.2010

Ja hat funktioniert.. VIELEN DANKE für deine Mühe!!!

\land

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