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Parametergleichung / Koordinatengleichung Ebene

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: eben, Geometrie, hausaufgaben, Koordinatengleichung, Parametergleichung, Pyramide, Vektor

lili92 aktiv_icon

18:57 Uhr, 10.09.2010

Hey, ich bräuchte mal dringend eure Hilfe! Ich muss am Montag in Mathe die Hausaufgaben vorstellen und komme allerdings nicht weiter. Ich schreibe euch einfach mal die Aufgabenstellung und meine Lösungsansätze mit der Bitte, dass ihr mal drüber schaut und evtl. das ein oder andere verbessert bzw. mir Tipps gebt. Dankeschön :-)

1. Bestimmen sie eine Parametergleichung der Ebene E.

a) E : 2 x - z = 5

Meine Lösung: Sx (2,5\0\0); Sy

\to

Kein Schnittpunkt vorhanden; Sz (0\0\-5)

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2,5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2,5 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix})

b) E : 3 y = 9,

Meine Lösung: Sx

\to

kein Schnittpunkt; Sy (0\3\0); Sz

\to

kein Schnittpunkt

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

2. Gesucht ist eine Koordinatengleichung der beschriebenen oder dargestellten Ebenen.

a)

Es handelt sich um die x-y-Ebene
Meine Lösung:

z = 0

b)

Die Ebene hat die Achsenabschnitte

x = 4; y = 2; z = 6

Meine Lösung: Sx(4\0\0); Sy (0\2\0); Sz (0\0\6)

E : \vec{x} = 3 x + 6 y + 2 z = 12

c)

Die Ebene enthält den Punkt P(2\1\3) und ist zur y-z-Ebene parallel.
Meine Lösung: Habe nun erst einmal eine Parametergleichung aufgestellt.

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

LGS:

1 . x = 2

2 . y = 1 + r

3 . z = 3 + s

Hier komme ich nun nicht mehr weiter!!! Wie soll ich das LGS auflösen?

d)

Die Ebene geht durch den Punkt P(4\4\0) und ist parallel zur z-Achse. Ihr y-Achsenabschnitt beträgt

y = 12

Meine Lösung: Auch wieder erst die Parametergleichung
Sx (?\0\0), Sy (0\12\0), Sz

\to

kein Schnittpunkt

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

LGS:
1.

x = 4 - 4 r + 2 s

y = 4 + 8 r + 3 s

z = 0

Weiter komme ich nicht, da ich auch hier das LGS nicht auflösen kann.

e)

Die Ebene enthält die Punkte A(2\-1\5), B(-1\-3\9) und ist parallel zur z-Achse.
Meine Lösung: auch wieder erst die Parametergleichung

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot

((?),(?),(?))
Weiter komme ich auch hier nicht.

3.Eine Ebene

E

hat drei positive Achsenabschnitte, wobei der y-Abschnitt doppelt und der z-Abschnitt dreimal so groß wie der x-Abschnitt sind.

a)

Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene

E,

wenn die x-Achse bei

x = 1

geschnitten wird.
Meine Lösung:

6 x + 3 y + 2 z = 6

b)

Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene allgemein.
Meine Lösung: ebenfalls

6 x + 3 y + 2 z = 6

???? kann doch eigentlich nicht das Gleiche sein...

c)

Welches Volumen hat die durch die Achsenabschnitte und den Ursprung gebildete Pyramide für

a)

bzw. für

b)

?
Meine Lösung:

a) V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2) \cdot 3

V = 1

Bei

b)

habe ich auch hier keine Ahnung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

olli1973 aktiv_icon

19:22 Uhr, 10.09.2010

> 1

. Bestimmen sie eine Parametergleichung der Ebene E.

Für eine Ebene in Parameterform brauchst du 3 Punkte, nicht nur 2.

> 2

. Gesucht ist eine Koordinatengleichung der beschriebenen oder dargestellten Ebenen.

a)

Deine Lösung ist richtig

b)

sieht auch gut aus

c)

auch gut, das Gleichungssystem kannst du ganz einfach lösen:

x = 2

d)

hier solltest du dir andere Punkte für dein Gleichungssystem suchen:

S_{y} (0 | 12 | 0), P (4 | 4 | 0)

und

(z . B .) Q (4 | 4 | 4)

Wenn

P

in der Ebene liegt und die Ebene parallel zur z-Achse liegt, dann liegt auch mein

Q

in dieser Ebene. Evtl. machst du dir eine Skizze dazu.

e)

du verschiebst entweder A oder

B

parallel zur z-Achse und erhältst dabei einen beliebigen neuen Punkt

(z . B

C)

3 a)

richtig

b)

Hier kann man nur vermuten, dass evtl. die Bedingung, dass die x-Achse bei

x = 1

geschnitten wird entfällt. Dann ergibt

c)

aber keinen Sinn mehr.

c)

hab ich jetzt nicht nachgerechnet. Wie hasst du Grundfläche und Höhe ermittelt?

lili92 aktiv_icon

19:54 Uhr, 10.09.2010

a)

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2,5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2,5 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

also dann so?
und bei

b)

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

+r⋅

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

c)

Lösung ist also

E : x = 2

d)

Habe den Punkt Q(4\4\4) verwendet und komme nun auf

2 x + y = 12

\to

kein Schnittpunkt vorhanden?

e) E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

durch das LGS:

2 x - 3 y = 7

? Sz

\to

kein Schnittpunkt vorhanden?

3.

c)

Für die Grundfläche habe ich

\frac{1}{2} \cdot a \cdot b

gerechnet, da es eine dreieckige Fläche ist. Wie in der Aufgabenstellung beschrieben ist der x-Abschnitt

1,

der y-Abschnitt 2 (da doppelt so groß) und der z-Abschnitt 3 (da dreifach). Also habe ich für die Grundfläche

\frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2,

für die Höhe habe ich

z

(also

3)

genommen.

olli1973 aktiv_icon

20:27 Uhr, 10.09.2010

1 a)

Nö, so gehts nicht.

3 Punkte spannen eine Ebene auf, aber nur wenn nicht 2 dieser Punkte identisch sind oder einer der Punkte genau zwischen zwei anderen liegt.

Als Tipp: Du solltest mal das

Y

ins Spiel bringen.

b)

Genauo. In beiden Fällen bekommst du keine Ebene, sondern eine Gerade.

2 c)

ja genau.

d)

Wenn eine Ebene parallel zu einer Achse liegt, dann kann es sie nicht schneiden. Die z-Koordinate spielt bei dieser Gleichung halt keine Rolle.

2 x + y = 12

geht für

Q (4 | 4 | 4)

genauso auf, wie für

R (4 | 4 | 777)

usw.

e)

Die Ebenengleichung sieht gut aus, dass es keinen Schnittpukt gibt, ist klar

3 c)

Gut, da gehe ich mit, wenn du

S_{x}, S_{y}

und den Ursprung als Grundfläche nimmst und die Strecke zwischen Urspung und

S_{z}

als Höhe.

lili92 aktiv_icon

20:59 Uhr, 10.09.2010

a)

Puh, jetzt steh ich wohl echt auf dem Schlauch. Habs mir jetzt mal aufgezeichnet.
Würde das funktionieren:

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2,5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2,5 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1,5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})

und bei

b)

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

bleibt also nur noch die Frage nach der

3 b)

;-)

Flo1990 aktiv_icon

21:09 Uhr, 10.09.2010

Ich war in Geo nie so richtig gut, aber bei der

3 b)

vielleicht so etwas?

6 a x + 3 a y + 2 a z = 6

Das ist ja etwas allgemeiner und die Gleichung könnte ja zB. auch noch so aussehen:

30 x + 15 y + 10 z = 6

lili92 aktiv_icon

21:34 Uhr, 10.09.2010

3 b)

hmm vielleicht dann eher noch:

6ax+3ay+2az=6a ?

ich glaub das könnte es sein....

BjBot aktiv_icon

21:40 Uhr, 10.09.2010

Noch nicht ganz.
Schau mal hier:

http//de.wikipedia.org/wiki/Achsenabschnittsform

lili92 aktiv_icon

21:52 Uhr, 10.09.2010

uff...

6 \frac{x}{a} + 3 \frac{y}{a} + 2 \frac{z}{a} = \frac{6}{a}

???

michael777 aktiv_icon

21:58 Uhr, 10.09.2010

in Achsenabschnittsform:

\frac{x}{a} + \frac{y}{2 a} + \frac{z}{3 a} = 1

multipliziert mit HN=6a:

6 x + 3 y + 2 z = 6 a

BjBot aktiv_icon

21:58 Uhr, 10.09.2010

Mann, mann, mann...

lili92 aktiv_icon

22:08 Uhr, 10.09.2010

Ok, klingt irgendwie auch recht logisch:-D)
dann sag ich doch mal danke.
wär aber schön, wenn jmd mal noch über die

1 a)

und

b)

gucken könnte, ob sie jetzt so stimmt

(s . ⊙)

BjBot aktiv_icon

22:23 Uhr, 10.09.2010

Würde ich tun aber wenn man nicht weiß aus welchen 3 Punkten du deine Ebenengeichung gebastelt hast wird es schwer das nachzuvollziehen.

Eine übliche Variante wäre auch noch diese hier:

2 x - z = 5 \Leftrightarrow 2 x - z = 5 \Leftrightarrow z = - 5 + 2 x

Damit hast du dann:

x = ... 0 + 1 x + 0 y

y = ... 0 + 0 x + 1 y

z = - 5 + 2 x + 0 y

Daran kann man dann recht schön die Parameterform ablesen:

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

P . S

. Das "Mann, mann, mann" war nicht auf dich bezogen ;-)

Und übrigens kommen bei

1 a

und

1 b

sicher keine Geraden raus, so wie es oben gesagt wurde.

olli1973 aktiv_icon

22:39 Uhr, 10.09.2010

>

Und übrigens kommen bei

1 a

und

1 b

sicher keine Geraden raus, so wie es oben gesagt wurde.

Wenn man weiterhin jeweils einen Nullvektor eingebaut hätte, dann schon

lili92 aktiv_icon

22:41 Uhr, 10.09.2010

also wäre es dann bei

b)

3 y = 9 \to y = 3

x = ... 0 + 1 x + 0 y

y = ... 0 + 0 x + 3 y

z = ... 1 + 0 x + 0 y

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

BjBot aktiv_icon

22:44 Uhr, 10.09.2010

Ach so meintest du das, dann hast dus aber verdammt missverständlich formuliert.
Ich zitiere mal:

"b) Genauso. In beiden Fällen bekommst du keine Ebene, sondern eine Gerade."

Wenn man das wörtlich nimmt so wie es da steht, kann man dieses "genauso" auch als eine Bestätigung dafür ansehen, dass sie die Aufgabe korrekt bearbeitet hat.

"3 Punkte spannen eine Ebene auf, aber nur wenn nicht 2 dieser Punkte identisch sind oder einer der Punkte genau zwischen zwei anderen liegt."

Punkte spannen nichts auf, wenn dann Vektoren.

BjBot aktiv_icon

22:47 Uhr, 10.09.2010

@ lili92

Wenn

x

und

z

in der Ebenengleichung fehlen musst du

x, y

und

z

auch durch

x

und

z

ausdrücken, nicht durch

x

und

y

lili92 aktiv_icon

22:52 Uhr, 10.09.2010

also hätte ich dann:

x = ... 0 + 1 x + 0 z

y = ... 3 + 0 x + 0 z

z = ... 0 + 0 x + 1 z

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

BjBot aktiv_icon

22:58 Uhr, 10.09.2010

Exzellent :-)

lili92 aktiv_icon

23:01 Uhr, 10.09.2010

Puh, schwere Geburt :-D)
Euch allen ein riesen großes Dankeschön!!! :-D)

BjBot aktiv_icon

23:52 Uhr, 10.09.2010

Nochmal eine Anmerung zu deiner

2 d

und

2 e :

Deine beiden Parametergleichungen aus deinem ersten Post in diesem Thread stimmen bis auf den zweiten Richtungsvektor.
Da die beiden Ebenen parallel zur z-Achse verlaufen sollen hättest du als 2. Richtungsvektor einfach

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

nehmen können.
Du musst dir da also nicht noch irgendwelche Punkte ausdenken.

lili92 aktiv_icon

12:07 Uhr, 11.09.2010

ok, danke.

d . h

. ich kann immer wenn etwas parallel zur z-Achse sein soll als zweiten Richtungsvektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

nehmen?
Parallel zur x-Achse dann

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und y-Achse

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

BjBot aktiv_icon

12:46 Uhr, 11.09.2010

Ja genau. Sofern du wie hier immer schon zwei Punkte gegeben hast machst du aus diesen einfach schonmal eine Gerade (wie du es ja auch schon richtig gemacht hattest) und hängst dann noch den entsprechenden zweiten Richtunsgvektor dran, wodurch dann deine Ebene entsteht.

lili92 aktiv_icon

13:20 Uhr, 11.09.2010

ok cool, super dankeschön :-)

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