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Parametrisierung: elliptische Paraboloidfläche

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Fluss, Integration, Oberflächenintegral, parametrisierung

roggenfaenger aktiv_icon

20:03 Uhr, 01.02.2016

Hallo,

Originalaufgabenstellung:

1) Bestimmen Sie zu der elliptischen Paraboloidfläche

F := ((x_{1}, x_{2}, \frac{1}{4} x_{1}^{2} + \frac{3}{4} x_{2}^{2})^{T} \in R^{3} ∣ x_{1} + x_{2}^{2} \leq 4)

eine Menge

G \subset ℝ^{2}

und eine Parametrisierung

Φ : G \to ℝ^{3}

mit

Φ (G) = F

.

Wie gehe ich dabei vor? Wähle ich Zylinderkoordinaten muss ich doch noch eine Abhängigkeit des Winkels

φ

des Radius berücksichtigen, oder?

Weiterhin soll in Aufgabenteil 2) eine Paramtrisierung von

\partial G

angegeben werden und mit Hilfe des Satz von Stokes durch ein Vektorfeld der Fluss berechnet werden.

Das verwirrt mich etwas - ich dachte, dass die Parametrisierung aus 1) die Fläche beschreibt. Welche Art von Parametrisierung ist in zwei gesucht? Wie sieht diese aus?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

01:51 Uhr, 02.02.2016

Hallo
nicht genau Zylinderkoordinaten du hast ja einen elliptischen Zylinder also x=acos(\phi); y=bsin(\phi) mit geeignetem a und

b

was deine Leute mit

\partial G

meinen weiss ich nicht , schau dir den Satz von Stokes an, dann kannst du es raten,

G

selbst wie in

a)

Gruß ledum

roggenfaenger aktiv_icon

09:10 Uhr, 03.02.2016

Danke für die Antwort. Klingt logisch.

da

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 4

gilt, integriere ich r von 0 bis 2.
Meine andere Variable ist

φ

von

0, 2 π

.

Dann muss

r

doch in

a

und

b

drin stecken, oder?
Ist es sowas wie

x = \frac{r}{4} c o s φ

? Ist aber eigentlich nur geraten.. verstehe nicht, wie ich

a

und

b

herausfinde.

ledum aktiv_icon

16:09 Uhr, 03.02.2016

Hallo
find einfach raus für welche a und

b

sich die Gleichung ergibt.
Gruss ledum

roggenfaenger aktiv_icon

22:00 Uhr, 04.02.2016

Das verstehe ich nicht.. welche Gleichung soll sich ergeben?
Diese:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4

?
Wähle ich aber

x_{1} = a \cos φ

und

x_{2} = b \cos φ

und es gilt

a \neq b

kann ich die Identität

c o s^{2} (x) + s i n^{2} (x) = 1

doch nie ausnutzen?!

(Stehe auf dem Schlauch. @ledum: wie würdest du diese Aufgabe lösen??)

ledum aktiv_icon

10:54 Uhr, 05.02.2016

Hallo
du hast doch

x_{3} = \frac{x_{1}^{2}}{4} + 3 \frac{x_{2}^{2}}{4}

und

\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1

Gruß ledum

roggenfaenger aktiv_icon

11:36 Uhr, 05.02.2016

Welche Bedingung gilt denn für

x_{3}

a, b

kann ich doch jetzt einfach wählen als

a = 2

und

b = 2

und schon gilt die Ungleichung

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 4

Wäre dann

x = \frac{r}{2} \cos φ

y = \frac{r}{2} \sin φ

und

z = \frac{r^{2}}{4} \cos^{2} φ + \frac{3 r^{2}}{1} \sin^{2} φ

richtig? Dann wäre aber

a = b

....

roggenfaenger aktiv_icon

13:45 Uhr, 11.02.2016

Leider habe ich die Lösung immernoch nicht raus.
Wäre jemand so nett und schreibt die vollständige, richtige Parametriserung für mich auf? Vielen Dank

ledum aktiv_icon

16:31 Uhr, 11.02.2016

Hallo

x = a \cdot r \cdot cos (φ)

y = b \cdot r \cdot sin 8 φ)

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = r^{2}

mit

a = 2, b = \frac{2}{\sqrt{3}}

hast du dann

z = r^{2}

Gruss ledum

ledum aktiv_icon

16:47 Uhr, 11.02.2016

In deinem ersten post steht

x_{1} + x_{2}^{2} \leq 4

später dann

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 4

was ist für die 2 te -Gleichung richtig?
Gruss ledum

roggenfaenger aktiv_icon

20:26 Uhr, 11.02.2016

Danke!

Oh, das war ein Tippfehler im ersten Post:

richtig ist:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 4

Wäre dann

a = b = 2

richtig?

ledum aktiv_icon

23:06 Uhr, 11.02.2016

Hallo
nein, ich hab dir doch die Parametrisierung für das elliptische Paraboloid angegeben?
hier dein Paraboloid mit dem schneidenden Zylinder, deine Fläche geht bis zu der Kurve, wo sich Zyliinder und Paraboloid schneiden.
Gruss ledum

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