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Partialbruchzerlegung - Normalisierung des Nenners

Universität / Fachhochschule

Tags: Ausklammern, Nenner, Partialbruchzerlegung, PBZ

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23:32 Uhr, 05.01.2014

Guten Abend allerseits,

Ich hätte eine grundsätzliche Frage zum Thema Partialbrüche.

Steht irgendwo geschrieben, dass der Nenner des zu zerlegenden Polynoms normiert sein muss?

Folgender Hintergrund:

Ich möchte den Ausdruck

\frac{200}{2 s^{2} + 30 s + 100}

in seine Partialbrüche zerlegen.

Die Nullstellen des Nenners (also von

2 s^{2} + 30 s + 100

) sind laut Taschenrechner

- 5

und

- 10

.
Ich mache den Ansatz:

\frac{200}{(s + 5) (s + 10)} = \frac{A}{(s + 5)} + \frac{B}{(s + 10)} =

und komme durch Zuhalten (Limes-Methode) auf:

= \frac{40}{(s + 5)} + \frac{- 40}{(s + 10)}

.

Was sich bei der Probe als falsch herausstellt. Denn:

\frac{40 (s + 10) - 40 (s + 5)}{(s + 5) (s + 10)} = \frac{200}{s^{2} + 15 s + 50} \neq \frac{200}{2 s^{2} + 30 s + 100}

Hätte ich von Anfang an im Nenner die 2 ausgeklammert, wäre aus der 200 im Zähler eine 100 geworden und ich käme auf das richtige Ergebnis.

Ich weiß zwar was ich hätte tun müssen, leider ist mir nicht ganz klar warum.
Daher meine obige Frage.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte.
Vielleicht auch mit einer Regel o. ä., denn Wiki, youtube und die ersten zwei Seiten von google habe ich erfolglos durchsucht.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern

anonymous

23:44 Uhr, 05.01.2014

es gilt:

\frac{200}{2 s^{2} + 30 s + 100} \neq \frac{200}{(s + 5) (s + 10)}

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00:32 Uhr, 06.01.2014

Hi!

Danke erstmal für die Antwort.

Mir ist schon klar, wo mein Fehler ist.
Diese Vorgehensweise bei der Partialbruchzerlegung mit "Nullstellen des Nenners", dann Ansatz mit unbekannten Zählern usw. macht doch eigentlich nur Sinn, wenn das Nennerpolynom normiert ist, oder liege ich da falsch?
Sonst könnte man dort ausklammern was man möchte und die Nullstellen bleiben trotzdem immer gleich.

Davon dass der Nenner normiert sein muss spricht nämlich weder Wikipedia, noch irgendein Tutorial auf Youtube, noch eine von den unzähligen Uniskripten, die man so findet.

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08:59 Uhr, 06.01.2014

bedenke, dass es unendlich viele Parabeln gibt, die durch die Nullestellen

- 5

und

- 10

laufen.

Für diese Stellen gilt ja:

a \cdot f (- 5) = b \cdot f (- 5)

bzw.

a \cdot f (- 10) = b \cdot f (- 10)

Deswegen ist

2 \cdot s^{2} + 30 \cdot s + 100 \neq (x + 5) \cdot (x + 10)

Mit den Nullstellen lassen sich also alle Parabeln der Form

a \cdot (x + 5) \cdot (x + 10)

beschreiben.

Dieses a hättest du anpassen müssen. In deinem Fall wäre

a = 2

zu setzen, welches man rauskürzen könnte oder ebenfalls in einen Partielbruch wandeln könnte.

;-)

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10:26 Uhr, 06.01.2014

Moin!

Tut mir leid, dass ich so darauf rumreite. Ich finde es nur irgendwie verwunderlich, dass keine der Quellen, die ich so gefunden habe darauf Rücksicht nimmt, ob das höchste Nennerglied noch einen Koeffizienten hat oder nicht.

Ist dann nicht zum Beispiel die Beschreibung auf Wikipedia ziemlich lückenhaft?

Zitat: ( de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Ansatz )

"Vorausgesetzt wird hier, dass

R^{*}

in der Form

R^{*} (x) = \frac{Z^{*} (x)}{N^{*} (x)}

gegeben ist, wobei der Grad von

Z^{*}

kleiner als der Grad des Nennerpolynoms

N^{*}

ist und sämtliche Nullstellen von

N^{*}

bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die

n

verschiedenen Nullstellen

x_{i}

und ihr jeweiliger Grad

r_{i}

bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

N^{*} (x) = (x - x_{1})^{r_{1}} \cdot (x - x_{2})^{r_{2}} \cdot . . . \cdot (x - x_{n})^{r_{n}}

Zu beachten ist, dass einige der

x_{i}

komplex sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:
Für jede einfache reelle Nullstelle

x_{i}

enthält er einen Summanden

\frac{a_{i 1}}{x - x_{i}}

"

Müsste nicht eignetlich von

N^{*} (x) = a \cdot (x - x_{1})^{r_{1}} \cdot (x - x_{2})^{r_{2}} \cdot . . . \cdot (x - x_{n})^{r_{n}}

die Rede sein?

Edddi aktiv_icon

11:16 Uhr, 06.01.2014

. .

. in dem von dir angegebenen Artikel steht ausdrücklich:

"... bekannt, so KANN das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden: N*(x)=..."

Es ist nun an dir, den Nenner in GENAU diese Form zu bringen, indem du die 2 im Nenner

z . B

. als

\frac{1}{2}

in den Zähler bringst oder eben einfach rauskürzt.

;-)

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12:34 Uhr, 06.01.2014

Okay, was das impliziert war mir wohl einfach nicht klar.

Vielen Dank an alle die mir die Tomaten von den Augen genommen haben! ;-)

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