Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Partialbruchzerlegung: Nullstelle x=0 ?

Partialbruchzerlegung: Nullstelle x=0 ?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Integration

Tags: Funktionalanalysis, Integration

student11 aktiv_icon

15:45 Uhr, 12.04.2012

Hallo zusammen

Ich möchte die Partialbruchzerlegung folgendes Bruchs machen:

f (x) = \frac{x - 27}{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}

Dazu betrachte ich ja den Nenner. Offensichtlich hat dieser die Nullstellen

x_{1} = 0, x_{2} = - 1, x_{3} = 3

.

Dann bräuchte ich ja folgenden Ansatz:

\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 3} = f (x)

Doch irgendwie, wenn ich das auflöse, komme ich auf folgendes:

(A + B + C) \cdot x^{2} + (- 3 \cdot B - 2 \cdot A + C) \cdot x - 3 A = f (x)

Mir fällt da irgendwie eine Potenz weg??

Mache ich irgendwo einen Rechnungsfehler, einen grundlegenden Überlegungsfehler oder hat das was mit der Nullstelle

x_{1} = 0

zu tun?

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

16:00 Uhr, 12.04.2012

\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 3} = \frac{A \cdot (x + 1) \cdot (x - 3) + B \cdot (x) \cdot (x - 3) + C \cdot (x) \cdot (x + 1)}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)}

Wie man nun weiter macht , weiß ich nicht.

mfG

Atlantik

student11 aktiv_icon

16:02 Uhr, 12.04.2012

Ach so.. Ich glaube ich weiss, wo mein Fehler liegt...

Ich habe die falschen Funktionen miteinander verglichen..

Bei deiner Version kann man ausmultiplizieren und danach durch Koeffizientenvergleich die Lösung ermitteln..

Ich werde es mal versuchen...

Edddi aktiv_icon

16:09 Uhr, 12.04.2012

...alles ausmultiplizieren und dann zusammenfassen:

\frac{A \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 3) + B \cdot (x^{2} - 3 \cdot x) + C \cdot (x^{2} + x)}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)}

\frac{A \cdot x^{2} - 2 \cdot A \cdot x - 3 \cdot A + B \cdot x^{2} - 3 \cdot B \cdot x + C \cdot x^{2} + C \cdot x}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)}

\frac{A \cdot x^{2} + B \cdot x^{2} + C \cdot x^{2} - 2 \cdot A \cdot x - 3 \cdot B \cdot x + C \cdot x - 3 \cdot A}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)}

\frac{(A + B + C) \cdot x^{2} - (2 \cdot A + 3 \cdot B - C) \cdot x - 3 \cdot A}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)}

nun müssen die Zähler ja identisch sein:

\frac{(A + B + C) \cdot x^{2} - (2 \cdot A + 3 \cdot B - C) \cdot x - 3 \cdot A}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)} = \frac{x - 27}{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)} = \frac{x - 27}{x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x}

somit muss man nur den Koeffizientenvergleich der beiden Zähler durchführen:

(A + B + C) \cdot x^{2} - (2 \cdot A + 3 \cdot B - C) \cdot x - 3 \cdot A = x - 27

Somit mus:

(A + B + C) = 0

- (2 \cdot A + 3 \cdot B - C) = 1

- 3 \cdot A = - 27

Dieses GLS ist einfach zu lösen, dann einfach

A, B

und

C

f (x) = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 3}

;-)

student11 aktiv_icon

16:12 Uhr, 12.04.2012

Vielen Dank für eure Hilfe..

Ich wollte meinen Ansatz

\frac{A}{x} + . .

. nur mit dem Nenner statt mit dem ganzen Bruch vergleichen, deshalb haben bei mir noch nicht mal die Potenzen gestimmt, also konnte ich auch nicht sinnvoll einen Koeffizietenvergleich machen.

Aber so ist alles klar..

Habe nun auch die richtigen Resultate bekommen:

(A = 9, B = - 7, C = - 2;

für die, die es interessiert)

Vielen Dank..

992259

992240

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?