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Partiell Diffbar und Total Diffbar

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Lauralisa aktiv_icon

19:47 Uhr, 29.08.2017

Hallo :-)

Ich habe eine Aufgabe und eine Lösung dazu.
Das Problem ist ich verstehe nicht was in der Lösung gemacht wird.

Also wegen

a)

Wir sollen ja überprüfen ob die Funktion Partiell Differenzierbar sind.
Ich würde genauso wie in der Lösung die Partielle Ableitung nach

x

und nach

y

Bilden.
Aber dann würde ich auch einen weg einschlagen..
In der Lösung wird dann die Partiellen Ableitung zu einem Vektor gemacht und als Kanditat bezeichnet ( Warum ?

: s)

Ich würde nun viel mehr mit der Definition arbeiten und die Kritische Stelle zeigen. Also das

f

auch in

(0,0)

Partiell Differenzierbar ist stattdessen wurden hier komische Sachen gemacht meiner Ansicht nach... Die anderen stellen ungleich

(0,0)

wurden ja schon gezeigt...

man könnte auch zeigen das die Funktion Total Differenzierbar daraus würde Folgen das die FUnktion Partiell Differenzierbar ist aber das ist meines wissens nach schwieriger.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

20:55 Uhr, 29.08.2017

Hallo,
was das mit dem Kandidaten auf sich hat, weiß ich auch nicht,
auf jeden Fall ist aber der sog. Kandidat die richtige Formel
für die partiellen Ableitungen an den Stellen

(x, y) \neq (0, 0)

.
Für

D_{x} (0, 0)

ergibt sich wieder gemäß der Definition der partiellen Ableitungen

D_{x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

und

D_{y} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (0, h) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{h ∣ h ∣ - 0}{h} = lim_{h \to 0} ∣ h ∣ = 0

.

Um die Stetigkeit von

D_{x}

und

D_{y}

an der kritischen Stelle

(0, 0)

zu zeigen,
beweist man

lim_{(x, y) \to (0, 0)} D_{x} (x, y) = D_{x} (0, 0) = 0 (*)

und entsprechend

lim_{(x, y) \to (0, 0)} D_{y} (x, y) = D_{y} (0, 0) = 0 (* *)

.
Versuche,

(*)

und

(* *)

zu zeigen, z.B. mit Hilfe von Nullfolgen

(x_{n}, y_{n}) \to (0, 0)

.
Gruß ermanus

Lauralisa aktiv_icon

21:03 Uhr, 29.08.2017

Hallo ermanus :-)

Ja genau so wie du es gemacht hast habe ich es auch gemacht.
Nachdem wir das gemacht haben müssen wir ja eigentlich mehr die Stetigkeit zeigen ..
Das wäre doch nur noch relevant wenn wir zeigen müssten ob die Funktion total Diffbar ist stimmt das ?

Ich mach es aber trotzdem als Übung:

Mh mir fällt jetzt ein Dx und Df sind doch gar nicht in

(0,0)

Definiert ..

ermanus aktiv_icon

21:07 Uhr, 29.08.2017

Da hast du Recht, der Stetigkeitsnachweis von

D_{x}

und

D_{y}

im Punkt

(0, 0)

dient nur dazu, die (totale) Diffbarkeit in

(0, 0)

zu begründen.

Lauralisa aktiv_icon

21:09 Uhr, 29.08.2017

Ich würde es aber gerne zeigen.
Ich verstehe aber nicht wie ?

ermanus aktiv_icon

21:20 Uhr, 29.08.2017

Ich gebe dir als Beispiel die Stetigkeit von

D_{x}

an der Stelle

(0, 0)

:

Seien

x_{n}

und

y_{n}

Nullfolgen, dann gilt

lim_{n \to \infty} ∣ D_{x} (x_{n}, y_{n}) ∣ = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{x_{n} y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} ∣ = lim_{n \to \infty} \frac{∣ x_{n} ∣}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} \cdot ∣ y_{n} ∣

\leq lim_{n \to \infty} 1 \cdot ∣ y_{n} ∣ = 0

.

Nun bist du mit

D_{y}

dran ;-)

Lauralisa aktiv_icon

21:30 Uhr, 29.08.2017

Achso das haben wir ja eben berechnet mit der Definition. Tut mir leid.

Sei

(x_{n}, y_{n})

eine Folge die gegen

(0,0)

Konvergiert. Dann gilt

lim_(n->∞)

| D (x_{n}, y_{n}) |

=lim_(n->∞)

\frac{| (x_{n}^{2} + 2 y_{n}^{2}) |}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} =

lim_(n->∞)

\frac{1}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} \cdot (x_{n}^{2} + 2 y_{n}^{2}) \leq

lim_(n->∞)

(x_{n}^{2} + y_{n}^{2}) = 0

stimmt das ?

ermanus aktiv_icon

21:36 Uhr, 29.08.2017

Die letzte Abschätzung ist nicht korrekt; denn wenn z.B.

x_{n} = y_{n} = \frac{1}{2}

ist,
dann ist der Faktor

\frac{1}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2} > 1

.
Kannst du das irgendwie "heilen" ?

Lauralisa aktiv_icon

21:39 Uhr, 29.08.2017

nein keine Idee leider

ermanus aktiv_icon

21:44 Uhr, 29.08.2017

Was hältst du davon (ich lasse mal die

lim

weg):

\frac{x_{n}^{2} + 2 y_{n}^{2}}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} = ∣ x_{n} ∣ \cdot \frac{∣ x_{n} ∣}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} + 2 ∣ y_{n} ∣ \cdot \frac{∣ y_{n} ∣}{\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}} .

Kannst du analog dem Fall

D_{x}

damit etwas anfangen ?

Lauralisa aktiv_icon

21:49 Uhr, 29.08.2017

Mh jetzt würde ich die beiden Bruch-Terme nach oben Abchätzen durch 1 und daraus hätte ich schon mein ergebnis stimmt die Idee so?

ermanus aktiv_icon

21:50 Uhr, 29.08.2017

Genau so habe ich es mir gedacht :-)

Lauralisa aktiv_icon

21:53 Uhr, 29.08.2017

Ok danke somit hätten wir gezeigt das die Funktion an der Kritischen Stelle Stetig.

Wie können wir die Stetigkeit an alle anderen Stellen ungleich

(0,0)

begründen ?

zu

b)

Ich würde bei der

b

nun wieder so vorgehen. Allerdings hat mein Prof. wieder sehr Komische dinge gemacht..

ermanus aktiv_icon

21:57 Uhr, 29.08.2017

Naja,
für

(x, y) \neq (0, 0)

sind

D_{x}

und

D_{y}

Quotienten stetiger Funktionen, also
stetig.
Für b) habe ich leider heute keine Zeit mehr und morgen bin ich den ganzen Tag unterwegs,
also könnte ich mich erst wieder am Donnerstag melden ...

Gruß ermanus

Lauralisa aktiv_icon

21:59 Uhr, 29.08.2017

Ok Danke und kein Problem.

Ist vllt jemand da der mir helfen könnte wäre echt sehr nett

Lauralisa aktiv_icon

23:07 Uhr, 29.08.2017

An alle helfer:

habe für

b

den Folgenden Beweis :

Die Partiellen Ableitungen existieren es muss nur sichergestelt werden das diese auch im Punkt

(0,0)

Existieren.

Mit der Definition haben wir :

Dx(0,0)=

lim_{h \to 0} \frac{f (h,0) - f (0,0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0

Dy(0,0)=

lim_{h \to 0} \frac{f (0, h) - f (0,0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0

Also ist die Funktion überall Partiell DIfferenzierbar.
Die Partiellen Ableitungen für alle Punkte ungleich

(0,0)

sind Stetig. Denn die Komposition von Stetigen Funktionen ist wieder Stetig. Also sind für alle Punkte ungleich

(0,0)

die Funktion Stetig Partiell Diffbar und somit für alle ungleich

(0,0)

Total Diffbar.
Es ist nur noch zu überprüfen ob die Funktion an der stelle

(0,0)

Total Diffbar ist.

Dies ist offensichtlich nicht der fall denn wählen wir eine Folge

(x_{n}, y_{n})

mit

x_{n} := \frac{1}{n}

und

y_{n} = \frac{1}{n}

diese Folge Konvergiert offensichtlich gegen

(0,0)

und es gilt :

lim_(n->unendlich)

D_{x} (x_{n}, y_{n}) = \frac{\frac{1}{n}}{2 \cdot \sqrt{| \frac{1}{n^{2}}} |} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}} = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2}

und dies ist ungleich 0 Daher kann es in diesem Punkt nicht stetig sein stimmt es ?

Lauralisa aktiv_icon

01:30 Uhr, 30.08.2017

Leute ich bins wieder. Ich habe bemerkt das ich die Aufgabe nicht Richtig gemacht habe. Die Funktion ist nicht Stetig Partiell Differenzierbar

d . h

aber nicht das die Funktion nicht Total Differenzierbar ist.

Nun will ich zeigen das die Funktion nich Total Differenzierbar ist im Punkt

(0,0)

. Das will ich direkt mit der Definition machen.
Wenn die Funktion Total Differenzierbar wäre müsste es ein

r (h, b)

geben mit

f (h, b) = f (0) +

Df(0,0)*(h,b)

+ r (h, b)

Und

lim_{(h, b) \to (0,0)} \frac{r (h, b)}{| | (h, b) | |}

Nun aus der ersten Gleichung folgt

f (h, b) = r (h, b)

Wähle

h = \frac{1}{n}

und

b = \frac{1}{n}

Daraus Folgt

lim_{(h, b) \to (0,0)} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{\sqrt{2}}{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

ist ungleich 0. also nicht diffbar
Stimmt es jetzt?

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