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Partielle Ableitung, implizites Differenzieren
Universität / Fachhochschule
Partielle Differentialgleichungen
Tags: implizites Differenzieren, mehrere Veränderliche, Partielle Differentialgleichungen
 
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Hallo! Ich habe eigentlich eine vermutlich ziemlich banale Frage, komme aber im Moment nicht dahinter. Die Funktion z(x,y) sei durch die Gleichung beschrieben. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung durch implizites Differenzieren und bestimmen Sie dann die lokalen Extrema von z. Was mich verwirrt ist die Funktion z, welche nur von x und y abhängt. Ist das jetzt eine Gleichung mit drei Veränderlichen oder wie ist das zu verstehen? Vor allem habe ich dann Probleme damit die beiden Bedingungen f(a)=0 und fz(a)!=0 zu erfüllen. Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre sehr toll, im Moment stehe ich leider komplett an. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) |
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Bilde doch zunächst einmal die ersten partiellen Ableitungen und danach die zweiten . Deine Fkt. ist ja in expliziter Form gegeben. Beim impliziten Differenzieren differenzierst du z ebenfalls partiell mit und stellst die Gleichungen nach den partiellen Ableitungen von z um. Deine implizite Fkt-Gl. ist gegeben durch , d.h. deine implizite Form enthält auch die explizite Funktion z. |
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Ok danke für die Hilfe. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es jetzt verstanden habe, aber ich leite jetzt mein F(x,y,z(x,y)) nach x,y und z partiell ab und dann ergibt sich doch und Ist das richtig? Allerdings werden dann die zweiten Ableitungen doch extrem aufwendig oder? Denn dafür müsste man die obigen Gleichungen ja noch einmal nach x und y ableiten.
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Praktischer ist es, wenn du zunächst einmal alle partiellen Ableitungen der impliziten Fkt. bestimmst. Danach den Satz über impliziten Fkt.-en ausnutzen, was du schon hingeschrieben hast für und allgemein nach der QR zusätzlich unter Beachtung der KR differenzierst und ganz zum Schluß die impliziten partiellen Ableitungen darin einsetzen. So hätte man besseren Überblick über die gesamte Operation. |
