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Partielle Integration arcsin

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: arcsin, Integration, Partielle Integration

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11:42 Uhr, 10.08.2016

Hallo Leute,

ich benötige Eure Unterstützung.

Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie mit partieller Integration:

\int

arcsin (x)

d x

Hinweis: Verwenden Sie, das gilt

\frac{d}{d x}

arcsin (x)

= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Ich kann mit dem Hinweis nicht viel anfangen... Ich weiß, dass es sich bei

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

um die erste Ableitung von arcsin

(x)

handelt...

mein Ansatz wäre:

f (x) =

arcsin

(x)

f' (x) = \frac{d}{d x}

arcsin (x)

= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}

Nun würde ich

f' (x)

"aufleiten". Funktioniert das mit der Kettenregel?

Lieben Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

11:58 Uhr, 10.08.2016

Hallo,
die Allgemeine Formel für die partielle Integration ist

\int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'

Hier verwendest Du aufgrund des Hinweises am besten für

u' = 1

und für

v = a r c sin (x)

probier nun mal bitte zunächst

u

und

v'

zu ermitteln
;-)

Jomeus aktiv_icon

12:14 Uhr, 10.08.2016

Vielen Dank für die rasche Antwort :-)

Wenn man die partielle Integration verwendet, lautet doch die formel:

f (x) =

1*arcsin (x)

,

oder?

Wenn ich

1 = u'

nehme, dann ist

u = x

v =

arcsin(x)
Dann ist

v' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Somit erhalte ich

\int

arcsin (x)

d x = [u \cdot v] - \int u \cdot v' d x = [

x*arcsin

(x)] - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

Ist das so korrekt?

funke_61 aktiv_icon

12:17 Uhr, 10.08.2016

genau richtig :-)
so nun geht es nur noch um das hintere Integral

- \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

Irgendeine Idee?

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12:19 Uhr, 10.08.2016

Da fällt mir spontan nur die partielle Integration ein....

funke_61 aktiv_icon

12:22 Uhr, 10.08.2016

Vielleicht gehts damit,
aber mit "Substitution" gehts sicher einfacher.
substituiere

w = (1 - x^{2})

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12:24 Uhr, 10.08.2016

v = x

v' = 1

u = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

u' = - \frac{3}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \cdot (- 2) = 3 \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

funke_61 aktiv_icon

12:30 Uhr, 10.08.2016

so rum gehts aber nicht!
wenn Du

v = x

v' = 1

nimmst,
dann musst Du

u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

integrieren, denn zur Anwendung der Formel für die partielle Integration musst Du in diesem Fall noch

u

ermitteln!

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12:36 Uhr, 10.08.2016

Ich habe für das hintere Integral

- \sqrt{(1 - x^{2})}

erhalten...

funke_61 aktiv_icon

12:37 Uhr, 10.08.2016

stimmt . . . bis auf die fehlende Integrtationskonstante . . .

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12:38 Uhr, 10.08.2016

Das ist mir auch gerade aufgefallen... XD

Jomeus aktiv_icon

12:39 Uhr, 10.08.2016

Vielen Dank :-)

funke_61 aktiv_icon

12:40 Uhr, 10.08.2016

bitteschön :-)

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