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Partielle Integration eines Bruchs

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Bruch, Partielle Integration, Winkelfunktion

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12:22 Uhr, 12.08.2016

Hallo Leute,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels partieller Integration und/oder Substitution:

a)

\int \frac{cos (x)}{5 + {sin}^{2} (x)} d x

Ich habe keine Idee wie ich anfangen soll...

Vielen Dank für Eure Unterstützung :-)

Roman-22

13:22 Uhr, 12.08.2016

Dann fang mal mit der Substitution

u = sin x

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15:01 Uhr, 12.08.2016

Ich stehe gerade völlig aufm Schlauch....

u = sin (x)

\int \frac{cos (x)}{5 + u^{2}} d x

Ich habe keine Idee, wie ich den Bruch eliminiere....

Ich würde wie folgt vorgehen:

\int (\frac{1}{5} + \frac{1}{u^{2}}) \cdot cos (x) d x

Bummerang

15:10 Uhr, 12.08.2016

Hallo,

"Ich würde wie folgt vorgehen:"

Und ich würde Dir raten, zunächst mal Bruchrechnung zu wiederholen, weil

\frac{a}{b + c} \neq (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot a

für fast alle

a, b

und

c

. Auch würde ich Dir empfehlen, Dich erst einmal darüber zu informieren, was Substitution bei Integration bedeutet. Dabei kann man sich verrechnen, aber komplette Schritte auszulassen sagt mir, dass Du Dir noch nicht mal die Mühe machst, den Weg dafür herauszusuchen!

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16:40 Uhr, 12.08.2016

Der Ansatz ist natürlich ne Katastrophe XD

Summen kürzen nur die Dummen XD

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17:47 Uhr, 12.08.2016

Mein neuer Ansatz wäre:

\int cos (x) \cdot \frac{1}{5 + {sin}^{2} (x)} d x

Nun würde ich für

sin (x)

die Variable

w

einführen. Also

w = sin (x)

Über Potenzgesetze komme ich dann zu folgendem Ansatz...

\int cos (x) \cdot {(5 + w^{2})}^{- 1} d x

Nun sollte ich die partielle Integration durchführen können.

u = {(5 + w^{2})}^{- 1}

u' = - {(5 + w)}^{- 2} \cdot 1

v = - sin (x)

v' = cos (x)

\int cos (x) \cdot {(5 + w^{2})}^{- 1} d x = [u \cdot v] - \int u' \cdot v d x = [{(5 + w^{2})}^{- 1} \cdot (- sin (x))] - \int - {(5 + w)}^{- 2} \cdot 1 \cdot (- sin (x)) d x

pwmeyer aktiv_icon

18:23 Uhr, 12.08.2016

Hallo,

wie Bummerang schon sagt: Schau doch bitte mal in Dein Lehrbuch / Skript / Wikipedia zum Thema "Substitutionsregel" bei Integralen.

Gruß pwm

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18:46 Uhr, 12.08.2016

Ich benötige lediglich einen Ansatz

Kann mir da jemand helfen?

ledum aktiv_icon

19:25 Uhr, 12.08.2016

Hallo
hast du noch nie ein Integral mit Substitution gelöst. du kannst

w

doch nicht nach

x

integrieren!
du hast u=sinx dann ist du/dx=cos(x), du=cos(x)*dx
verwende das und dann schreib dein neues Integral auf, in dem nur noch f(u)du vorkommen darf.
Gruß ledum

Respon

21:09 Uhr, 12.08.2016

\to

"Ich benötige lediglich einen Ansatz

Kann mir da jemand helfen?"

z = sin (x) \Rightarrow d z = cos (x) d x \Rightarrow d x = \frac{d z}{cos (x)} = \frac{d z}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}} = \frac{d z}{\sqrt{1 - z^{2}}}

\int \frac{cos (x)}{5 + {sin}^{2} (x)} d x = \int \frac{\sqrt{1 - z^{2}}}{5 + z^{2}} \cdot \frac{d z}{\sqrt{1 - z^{2}}} = \int \frac{1}{5 + z^{2}} d z

Und jetzt schau bei " arcustangens " nach.

abakus

21:29 Uhr, 12.08.2016

Hallo respon,
du machst hier zwei Flüchtigkeitsfehler, die sich glücklicherweise gegenseitig aufheben.
Deine Gleichung

c o s (x) = \sqrt{1 - s i n^{2} (x)}

ist nicht allgemeingültig.
Für bestimmte x gilt das nämlich nicht, da gilt stattdessen

c o s (x) = - \sqrt{1 - s i n^{2} (x)}

.
Es wäre aber gar nicht nötig gewesen,

c o s (x)

gleich an zwei Stellen durch

\sqrt{1 - s i n^{2} (x)}

(was manchmal auch

- \sqrt{1 - s i n^{2} (x)}

sein könnte) zu ersetzen, weil sich die beiden originalen Ausdrücke
"cos(x)"
auch ohne eine zweideutige Umschreibung in Wurzelform gegenseitig wegkürzen.

Jomeus aktiv_icon

09:30 Uhr, 13.08.2016

Vielen Dank für die rasche Antwort :-)

Ich weiß, dass die Ableitung des arctan