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Passende Majorante finden

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Integration

Tags: Folgen, Integration, Reihen

student11 aktiv_icon

14:55 Uhr, 16.06.2012

Hallo zusammen

Ich weiss zwar, dass die Summe der Folge

\frac{sinh (\frac{1}{n})}{n}

konvergiert, kann aber keine passende Majorante finden...

sinh (\frac{1}{n})

nimmt für

n = 1,2, . .

. ja Werte zwischen 1 und 0 an, schätzt man es gegen oben mit 1 ab, hat man eine divergente Majorante, was einem nichts nützt..

Auch Quotienten- und Wurzelkriterium führen zu keinem Erfolg.

Wie kann ich zeigen, dass diese Reihe konvergiert?

Vielen Dank für eure Hilfe..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

student11 aktiv_icon

15:04 Uhr, 16.06.2012

Falls euch dies hilft:

Habe gerade noch eine Lösung dazu gefunden, kann aber nicht allzu viel damit anfangen:

OPffensichtlich ist

sinh (\frac{1}{n})

uniform beschränkt durch

cosh (1)

. Und da die Reihe

\frac{1}{n^{2}}

konvergiert (Integralvergleich), konvergiert nach dem Majorantenkriterium
die Reihe ebenfalls;

student11 aktiv_icon

16:39 Uhr, 16.06.2012

Und wie kann man zeigen, dass die Reihe über

\frac{1}{n \cdot \sqrt{n}}

konvergiert?

Wir haben eigentlich in der Vorlesung nur das Minoranten-, Majorantenkriterium, Wurzel- und Quotientenkriterium gesehen, sowie

\frac{1}{n^{2}}

und

\frac{1}{n}

als prototypische konvergente/divergente Reihen angeschaut..

Doch daraus kann ich irgendwie nichts schliesseN?

pwmeyer aktiv_icon

17:02 Uhr, 16.06.2012

Hallo,

was die Sache mit

sinh (\frac{1}{n})

angeht, kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden:

| sin (\frac{1}{n}) | = | sinh (\frac{1}{n}) - sinh (0) | = | cosh (ξ) | \cdot \frac{1}{n} \leq cosh (2) \cdot \frac{1}{n}

Wie man das mit

cosh (1)

machen kann, sehe ich nicht.

Was die zweite Aufgabe angeht, so wäre die naheliegende Lösung das Integralvergleichskriterium, wenn schon bekannt.

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

17:10 Uhr, 16.06.2012

Das Integralkriterium hatten wir zwar nicht, hab es aber schnell gegooglet und scheint ein einfach anwendbares Kriterium zu sein, deshalb werde ich es mir merken.. danke :-)

also konvergiert beispielsweise die Reihe über

\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

konvergiert, da das Integral

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} d x

existiert, denn

\int_{1}^{k} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} d x = - \frac{2}{\sqrt{k}} + 2 \to 2

für

k \to \infty .

.

Korrekt so?

Das andere muss ich mir zuerst nochmals durch den Kopf gehen lassen..

pwmeyer aktiv_icon

17:14 Uhr, 16.06.2012

Korrekt, wenn man von den Variablen absieht: Es geht um

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

17:26 Uhr, 16.06.2012

Oh klar, Flüchtigkeitsfehler, vielen Dank..

Nun zurück zu der Sache mit

sinh .

.

Man kann

sinh (\frac{1}{n})

als

sinh (\frac{1}{n}) - sinh (0)

schreiben..

Nach Mittelwertsatz ist dann

\frac{sinh (\frac{1}{n}) - sinh (0)}{\frac{1}{n} - 0} = f' (x_{0}) = cosh (x_{0})

für ein

x_{0} \in (0, \frac{1}{n})

.

Somit ist

sinh (\frac{1}{n}) = \frac{cosh (x_{0})}{n} \leq \frac{cosh (1)}{n}

(sogar, nicht nur

cosh (2),

oder?)

Somit gilt:

\frac{sinh (\frac{1}{n})}{n} \leq \frac{cosh (1)}{n^{2}} \leq \frac{2}{n^{2}},

da das

x_{0}

ja kleiner sein muss als 1 und

cosh (x)

monoton wachsend ist auf diesem Intervall, kann man

cosh (x_{0})

durch

cosh (1)

nach oben abschätzen, was wiederum durch 2 nach oben abgeschätzt werden kann..

Also haben wir eine konvergente Majorante gefunden..

Super "Trick" mit dem Mittelwertsatz...

pwmeyer aktiv_icon

17:32 Uhr, 16.06.2012

Ja, klar

cosh (1)

ist richtig.

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

17:33 Uhr, 16.06.2012

Vielen Dank.. Hast mir super geholfen.. :-)

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