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Permutationen, Inversen berechnen

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Tags: Hochschulmathematik, invers, permutation

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12:50 Uhr, 03.03.2013

Hallo Zusammen,

ich bearbeite gerade eine Aufgabe:

Gegeben sind die zwei Permutationen:

p = (\frac{12345}{52413})

und

q = (\frac{12345}{41352})

berechnen sie

p \cdot q

und

q \cdot p,

sowie die Inversen

p^{- 1}

und

q^{- 1}

.

Bislang habe ich

p \cdot q

und

q \cdot p

errechnet. Jetzt ist meine Frage: ist

p^{- 1}

nicht das gleiche wie das Ergebnis von

q \cdot p

und

q^{- 1}

das gleiche wie das Ergebnis von

p \cdot q

?
Oder verzettel ich mich da ein bisschen?

Wäre euch dankbar für Antworten!

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p \cdot q = (\frac{12345}{15432})

q \cdot p = (\frac{12345}{21543})

das wären doch

p^{- 1}

und q^-1??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

14:05 Uhr, 03.03.2013

p \circ q

und

q \circ p

passen.

Nun meine Frage: Wie kommst du darauf, dass

p^{- 1} = q \circ p

gelten soll?
Das klappt nur in wenigen Ausnahmefällen für bestimmte Kombinationen

p

und

q

.
Im Allgemeinen stimmt das jedoch nicht! In diesem Fall stimmt das nicht!
Was wäre denn, wenn man das

q

den anders wählen würde? Würdest du dann immer noch davon ausgehen, dass

p^{- 1} = q \circ p

?

Hier muss gelten:

p^{- 1} \circ p = p \circ p^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})

Bzw. im Allgemeinen:

(p^{- 1} \circ p) (n) = (p \circ p^{- 1}) (n) = n

Wenn also

p

ein

n_{1}

auf ein

n_{2}

abbildet, so muss

p^{- 1}

das

n_{2}

auf

n_{1}

abbilden, so dass insgesamt

p^{- 1} \circ p

entsprechend

n_{1} \mapsto n_{2} \mapsto n_{1}

abbildet und

p \circ p^{- 1}

entsprechend

n_{2} \mapsto n_{1} \mapsto n_{2}

abbildet.

Da für

p

in diesem Fall das Folgendes gilt:

1 \mapsto 5

2 \mapsto 2

3 \mapsto 4

4 \mapsto 1

5 \mapsto 3

...

bedeutet das in diesem Fall das Folgende für

p^{- 1} :

5 \mapsto 1

2 \mapsto 2

4 \mapsto 3

1 \mapsto 4

3 \mapsto 5

Daher:

p = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 4 & 1 & 3 \end{matrix}) \Rightarrow p^{- 1} = (\begin{matrix} 5 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{matrix})

Also einfach nachsehen, was wird bei

p

auf die 1 abgebildet?
Dann muss

p^{- 1}

die 1 auf genau das abbilden.

...

Analog verfährt man bei

q

.

Und du solltest nun sehen:

p^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3 \end{matrix}) = q \circ p

Easypeasy aktiv_icon

14:47 Uhr, 03.03.2013

Ah, vielen Dank! Ich kam darauf, da ich eine Beispielaufgabe vor mir hatte und in der war das der Fall und ich hatte keinen Rechenweg dafür, wie man

p^{- 1}

berechnet. Aber da ich den nun habe, sollte es kein Problem mehr sein. Dankeschön!

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