 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Permutationen / Symmetrische Gruppe
Permutationen / Symmetrische Gruppe
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags:
 
|
  |
|---|
|
Bekanntlich sind zwei Elemente und g´in einer Gruppe konjugiert, wenn es ein heG mit g´= hgh hoch minus 1 gibt und konjugiert zu sein ist eine Äquivalenzrelation auf 1. Geben Sie ein leicht zu verifizierendes Kriterium dafür an, wann zwei Permutationen in der symmetrischen Gruppe Sn zueinander konjugiert sind. 2. Geben Sie für jede Konjugationsklasse der symmetrischen Gruppe genau einen Vertreter an. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
1. Geben Sie ein leicht zu verifizierendes Kriterium dafür an, wann zwei Permutationen in der symmetrischen Gruppe Sn zueinander konjugiert sind. Es gibt zwei Arten Permutationen zu schreiben. Hier ist die Zykelschreiweise hifreich: Ein Zykelist dabei eine Menge, die zyklisch vertauscht wird: (143) ist die Permutation, die 1 auf 4, 4 auf 3 und 3 auf eins schikt, und alles andere fest lässt. nun gibt es bis auf offensichtliche Vertauschungen genau eine Möglichekeit eine Permutation mit Disjunkten zykeln zu schreiben, das heißt: jede Zahl darf in höchstens einem Zykel auftauchen. Also z.B. (12)(365) ist erlaubt, (12)(23) nicht und (12)(536) und (653)(12) sind die gleichen Permutationen. Was pasiert jetzt, wenn du in dieser Schreibweise konjugierst? |
 |
|
dann erhalte ich doch meine ausgangspermutation wieder, oder? vielen dank übrigens für dein beispiel.... |
|
|
|
Nicht ganz. Achtung! Zykel die nicht disjunkt sind, kommutieren nicht. Beispiel: konjugiere (12) mit (23): Das inverse von (23) ist (23) selbst. Was ist also (23)(12)(23)? (Ich lese übrigens von rechts nach links: Was pasiert mit der 1? Der 1. Zykel macht nichts. Der zweite schikt sie auf die 2. Der dritte schickt die 2 auf die 3. Also geht in der Verkettung die 1 auf die 3. Was passiert mit der 3? Der erste Zykel schick die 3 auf die 2. Der zweite schickt die 2 auf die 1, der 3. lässt die 1 fest. Also geht die 1 au die 3 und wir haben unseren ersten Zykel (13) in der Verkettung gefunden. Was passiert nun mit der 2? Zunächst wir sie auf 3 geschickt. beim 2. mal passier nichts. beim 3. mal geht si wieder auf 2. d.h. es passiert gar nichts! Ergebnis: das konjugierte ist (13). Wenn du 2 bis 3 weitere Beispiele rechnest siehst du sehr schnell ein Muster. Das kannst du dann versuchen zu beweisen. Als Warnung schicke ich mal vorweg: Der Beweis ist sehr einfach wenn man ihn abstakt macht, aber schwehr, wenn man ihn durch rechnen versucht. |
|
|
|
großen dank für deine mühe.kann man denn den beweis im netz irgendwo nachlesen.auf abstraktes komme ich eh nicht... |
|
|
|
Ich weiß nicht wo das im Netz steht, daher hier die Lösung: Zwei Permutationen sind genau dann konjugiert, wenn sie den gleichen Zykeltyp haben. Damit ist gemeint, dass sie in der disjunkten Zykelschreibweise die gleiche Anzahl von Zykeln der Länge 2,3,4 unsw haben: (12)(345) und (45)(136) haben z.B. den gleichen Zykeltyp Beweis Idee: Man stellt sich die Konjuation als einen "Basiswechsel" vor und rechnet dann für die konjugation mit einer Permutation nach: Diese Rechnung ist wirklich geradeaus. Dieser Beziehung sieht man direkt an, dass sie den Zykeltyp unverändert lässt. Andererseits kann man mit dieser Gleichung für zwei Permutationen mit gleichem Zykeltyp direkt ein sigma hinschreiben, das die eine in die andere permutiert. Das war jetzt ziemlich knapp, aber ich bin auch schon ein bischen müde. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
528697
528594