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Permutationsmatrix

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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anonymous

anonymous

11:16 Uhr, 12.12.2015

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Hallo Leute,

ich muss beweisen, dass das Produkt zweier Permutationsmatrizen wieder eine Permutationsmatrix ergibt.

Natürlich habe ich es gleich getestet und welch Wunder^^, es kam wieder eine Permutationsmatrix heraus.

Die Frage, reicht das nun so oder benötige ich noch einen richtigen Beweis?
Die Aufgabenstellung lautet:

Eine Matrix heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind. Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Permutationsmatrizen aus K nxn wieder eine Permutationsmatrix ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Mathe45

Mathe45

12:04 Uhr, 12.12.2015

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M beliebige Matrix ( suitable ),P Permutationsmatrix
P⋅M⇒ nur Zeilen werden vertauscht
M⋅P⇒ nur Spalten werden vertauscht

P1⋅P2⇒ es werden entweder nur Zeilen oder nur Spalten vertauscht ⇒ Permutationsmatrix
(... ist natürlich nicht wirklich ein "Beweis" )
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

13:34 Uhr, 12.12.2015

Antworten
Ok danke,

ich gebs mal so ab :-D)
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

14:07 Uhr, 12.12.2015

Antworten
Hallo,

> ich muss beweisen, dass das Produkt zweier Permutationsmatrizen wieder eine Permutationsmatrix ergibt.
>
> Natürlich habe ich es gleich getestet und welch Wunder^^, es kam wieder eine Permutationsmatrix heraus.
>
> Die Frage, reicht das nun so oder benötige ich noch einen richtigen Beweis?

Ich dagegen sollte beweisen, dass jede ungerade natürliche Zahl prim ist. Ich habs gleich mal getestet, und oh Wunder: 3 ist prim, 5 ist prim, 7 ist prim.

Reicht das evtl. auch schon aus?

Ok, wieder Ernst beiseite.
Deine n-reihige Permutationsmatrix M=(aij)1≤i,j≤n hat ja einen deutlichen Zusammenhang zu einer Permutation σ∈Sn, etwa so: σ(j)=i:⇔ai,j=1 (man könnte es auch "anders" herum machen, d.h. σ(i)=j:⇔ai,j=1, es gibt aber Gründe, die Ursprungsvariante zu wählen)
Auf diese Weise stellst du eine tatsächlich bijektive Verknüpfung zwischen der Menge aller n-reihigen Permutationsmatrizen und der Menge/Gruppe Sn her.
Es stellts ich die Frage, ob diese Verknüpfung sogar ein Isomorphismus ist. Und letztlich ist es genau so.
Definiert etwa ei (1≤i≤n) denjenigen Einheitsvektor, der an der Stelle i eine 1 hat (und sonst nur Nullen), so kann man etwa einfach definieren: Mσ:=(eσ(1)⋯eσ(n)).
Dann zeige, dass gilt: Mσ⋅Mτ=σ∘τ

Interessanterweise ist es einfacher, diesen Zusammenhang (der ja stärker zu sein scheint) zu beweisen, als den geforderten (der aus diesem ja direkt hervorgeht).

Mfg Michael