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Pivotelement finden
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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Moin, bin grade bei der Vorbereitung zur Matheklausur. Wie bzw. wonach wähle ich Pivotspalte/-zeile und -element aus? Ist mir irgendwie nen Rätsel wie man da vorgeht. Wär schön, wenn das jemand erklären könnte... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, der Gauss-Algorithmus sollte dir ja ein Begriff sein. Leider sind mir die Begriffe Pivotzeile und -spalte noch nie untergekommen. Aber der Sinn des Algorithmusses ist eine ZSF (Zeilenstufenform) zu erzeugen. Man beginnt zunächst mit der Spalte ganz links (wahrscheinlich nennt man das dann die erste Pivotspalte, bin mir nicht sicher) und wählt aus dieser Spalte eine Element, das ungleich Null ist (dies ist dann das erste Pivotelement). Es könnte sein, dass das erste Element in der ersten Spalte Null ist (also das Ding oben links), dann steht das Pivotelement in einer anderen Zeile. Diese wird wohl dann wahrscheinlich die erste Pivotzeile genannt. Nun tauscht man die erste Pivotzeile nach oben (dies ist eigentlich rein kosmetischer Natur, damit nachher wirklich eine ZSF entsteht) und beginnt, alle Elemente unterhalb des ersten Pivotelements durch Multiplikation der ersten Zeile mit einem entsprechenden Faktor und Addition zur entsprechenden Zeile zu elemenieren (also auf Null zu löschen). Dann wählt man aus der zweiten Spalte (falls möglich, denn es könnte auch eine Nullspalte sein) wieder ein Nichtnullelement. Dabei ignoriert man jetzt aber die erste Zeile (die ist jetzt quasi fix). Dieses zweite Pivotelement wird dann in die zweite Zeile getauscht und es werden alle Elemente, genauso wie im ersten Schritt, alle Elemente UNTERHALB des zweiten Elements auf Null gelöscht. Und so weiter. Im dritten Schritt werden dann die ersten beiden Zeilen ignoriert etc. Es gibt auch verschiedene Abwandlungen vom Gauss-Algorithmus, so gibt es auch eine Normierte Zeilenstufenform etc, ich weiß nicht, ob das hier von Interesse ist. Aus numerischen Gründen wird das Pivotelement auch nach anderen Kriterien gewählt. Da kann man nicht irgendein Nichtnullelement wählen, sondern man wählt immer entweder das Betragsgrößte oder Betragskleinste Element, ich kann mich nicht mehr erinnern. Denn dadurch entstehen die kleinsten Rundungsfehler (falls man den Algo mit dem PC berechnet). Aber ich glaube das ist für dich nicht wichtig. Lieben Gruß Sina |
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Danke für deine ausführliche Antwort. Als ich diese gelesen habe habe ich gemerkt, dass ich das schonmal unbewusst gerechnet habe. Als Endtableau erhaält man dann z. B. sowas: x1 x2 x3 x4 RS -2 5 6 1 18 0 3,4 -4 5 12 0 0 -6 8,5 8 0 0 0 7 3 |
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