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Poisson Approximation

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

Stochastikerin

11:05 Uhr, 12.11.2021

Eine Fluggesellschaft weiß, dass

4 %

aller Passagiere, die ein Ticket gekauft haben, nicht zum Abflug erscheinen. Daher werden für einen Flug mit

853

verfügbaren Plätzen

880

Tickets verkauft.

Sei B=("Alle Kunden, die zum Flug erscheinen, erhalten einen Platz")

a)

Geben sie einen geeigneten W-Raum

(Ω, A, P)

an. Drücken Sie anschließend

B

formal als Teilmenge von

Ω

aus

b)

Berechnen Sie

P (B)

unter Verwendung der Poissonapproximation.

- - -

a)

Sei

(Ω, A, P)

ein Wahrscheinlichkeitsraum mit

Ω =

{

"Gekauftes Ticket wird eigenlöst (Passagier kommt)", "Gekauftes Ticket wird nicht eingelöst (Passagier kommt nicht)"}^880

A = 2^{Ω}

P("Gekauftes Ticket wird eingelöst")

= 0,96

P("Gekauftes Ticket wird nicht eingelöst")

= 0,04 =

1-P("Gekauftes Ticket wird eingelöst")

Nun formal als Teilmenge:

A = {w = (w_{1}, w_{2}, ..., w_{880}) : w_{1} = w_{2} = . .

= w_{853} \neq w_{854} = . .

= w_{880}}

Bei der Teilmenge bin ich mir aber super unsicher..

Zur

b)

n = 880

p = 0,96

(W-keit, dass ein Ticket eingelöst wird)

λ = n \cdot p = 880 \cdot 0,96 = 844,8

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Passagier ein Platz bekommt.

Also

1 -

(P("Ein Gast zu viel)+P("Zwei Gäste zu viel)

+ . .

+ P (27

Gäste zu viel)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stochastikerin

11:08 Uhr, 12.11.2021

Poisson Approximation:

P_{λ} ({k}) = \frac{λ^{k}}{k!} \cdot e^{- λ}

P_{844,8} ({854}) = \frac{{844,8}^{854}}{854!} \cdot e^{- 844,8}

P_{844,8} ({855}) = \frac{{844,8}^{855}}{855!} \cdot e^{- 844,8}

. .

P_{844,8} ({880}) = \frac{{844,8}^{880}}{880!} \cdot e^{- 844,8}

Wenn ich diese Wahrscheinlichkeiten aufsummiere, hätte ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Passagier zu viel ist. Das müsste ich von 1 subtrahieren, um die Wahrscheinlichkeit für die Aufgabe zu bekommen.

Allerdings scheinen mir die Zahlen zu hoch zum rechnen, weshalb ich glaube, dass ich irgendwo einen Fehler habe..

Eventuell umgekehrt rechnen, mit

0,04

als Wsk?

HAL9000

11:29 Uhr, 12.11.2021

Dieses grundsätzliche Missverständnis zur Poissonapproximation ist mir in letzter Zeit auch in anderen Foreneinträgen aufgefallen:

Die Approximation

Poisson (λ)

der Binomialverteilung

B (n, p)

mit

λ = n p

ist nur statthaft für große

n

und SEHR KLEINE

p

!!! Davon kann bei

p = 0.96

keine Rede sein. :(

D.h., wenn du hier schon mit Poisson-Verteilung hantieren willst, dann NICHT für die Anzahl

X

der wirklich erscheinenden Passagiere, sondern nur für die Anzahl

Y

Leute mit nicht eingelöstem Ticket.

So wie

X \sim B (n, p)

gilt, ist auch

Y \sim B (n, q)

mit

q = 1 - p = 0.04

. Und die Rechnung lautet dann mit

λ = n q = 35.2

sowie näherungsweise

Y \sim Poisson (λ)

P (B) = P (Y \geq 27) = 1 - \sum_{k = 0}^{26} P (Y = k) = 1 - e^{- 35.2} \sum_{k = 0}^{26} \frac{35 . 2^{k}}{k!}

Stochastikerin

11:55 Uhr, 12.11.2021

Also doch kleine

p .

. da war ich mir unsicher, jetzt habe ich es verstanden! Dankeschön.

Zu der Teilmenge in

a)

wie kann man die Teilmenge dort formal ausdrücken?

Es gibt

880

Kunden, aber nur

853

Plätze

Damit jeder Kunde einen Platz bekommt, dürfen

27

Kunden maximal nicht kommen.

Roman-22

12:33 Uhr, 12.11.2021

Grundsätzlich ist dein Ansatz richtig. Der Fehler besteht allerdings darin, dass die Näherung der Binomial- durch die Poissonverteilung nur für kleine Werte der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeit sinnvoll (manche mögen hier "zulässig" formulieren) ist.
Zusätzlich kommt noch dazu, dass bei deinem Ansatz, wie du selbst bemerkt hast, die rechentechnische Durchführung aufgrund der hohen auftretenden Werte mit einem normalen TR nicht machbar ist, zB ist ja allein

880! \approx 2,57 \cdot 10^{2234}

.
Aber selbst, wenn man andere Hilfsmittel zur Berechnung heranziehen würde, wäre die damit erzielte Näherung

72,98 %

kaum brauchbar, wenn man sie mit dem "genauen" Ergebnis

93,76 %

bei Rechnung mit Binomialverteilung vergleicht.

Es macht daher Sinn, nicht auf die Fluggäste, die den Flug antreten, abzustellen, sondern auf jene, die den Flug nicht antreten. Platzprobleme gibts da nur, wenn sich deren Anzahl im Bereich von 0 bis

26

bewegt. Und

26!

schafft auch noch fast jeder TR ;-)
Hier liefert die Poisson-Näherung dann den durchaus guten Wert

93,38 %,

der nur sehr geringfügig von den "tatsächlichen"

93,76 %

abweicht.

HAL9000

17:43 Uhr, 12.11.2021

> Hier liefert die Poisson-Näherung dann den durchaus guten Wert 93,38%, der nur sehr geringfügig von den "tatsächlichen" 93,76% abweicht.

Wobei man auch anderer Meinung sein kann, ob diese Näherung "gut" ist: Bei Wahrscheinlichkeitswerten nahe an 1 bewertet man ja auch gern nicht den relativen Fehler der Wahrscheinlichkeitsangabe, sondern den der zugehörigen Gegenwahrscheinlichkeit. Wenn wir das nun anhand der tatsächlichen Gegenwahrscheinlichkeit 6,24% beurteilen, dann hat der Approximationswert 6,62% dieser Gegenwahrscheinlichkeit immerhin einen relativen Fehler von

\frac{0, 38 %}{6, 24 %} \approx 6 %

.

Ist eben eine Frage der Perspektive. ;-)

Stochastikerin

09:55 Uhr, 13.11.2021

Den Teil mit der Poissonapproximation habe ich nun verstanden - allerdings brauche ich noch Hilfe bei der Teilmenge und dem W-Raum

1544518

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