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Poisson-Verteilung, Zufallsvariable

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Fabienne- aktiv_icon

20:35 Uhr, 06.12.2015

Eine Teilchenquelle emitiert

N

Teilchen. Dabei sei

N

eine mit Parameter \lambda Poisson-verteilte Zufallsvariable. Jedes Teilchen wird (unabhängig von allen anderen Teilchen und unabhängig von der Anzahl) mit Wahrscheinlichkeit p von einem Zähler registriert und mit Wahrscheinlichkeit 1-p nicht registriert.
Es sei

X

die Anzahl der registrierten Teilchen. Zeigen Sie, dass

X

ebenfalls Poisson-verteilt ist und bestimmen Sie den Erwartungswert

E (X)

.

Hallo,

ich muss diese Aufgabe lösen und finde sie ehrlich gesagt komisch gestellt...
Das Experiment besteht aus zwei Teilen. Erst erzeuge ich eine Anzahl von Teilchen.
Die Anzahl ist dabei Poisson-verteilt, also ist die Wahrscheinlichkeit für

N

Teilchen:

P (N) = \frac{N^{λ}}{N!} e^{- λ}

Nun werden diese N Teilchen durch einen Zähler geschickt. Dieser Versuch ist nun erstmal Binomialverteilt. Denn es gibt nur zwei Ausgänge und die Wahrscheinlichkeit ist in jedem Versuch gleich.

X \sim B i n (N, p)

verteilt und es gilt

P (X = k) = (\binom{N}{k}) p^{k} (1 - p)^{N - k}

Nun haben wir in der Vorlesung bereits bewiesen, dass eine Binomialverteilung gegen die Poissonverteilung konvergiert. Der Erwartungswert sollte auch lediglich E(X)=pN sein.

Das kommt mir alles viel zu einfach vor. Verstehe ich die Aufgabe falsch?

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. <3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:43 Uhr, 07.12.2015

p N

kann gar kein Erwartungswert sein, da es keine Zahl ist, sondern eine Zufallsvariable!

Ja, Du verstehst etwas falsch, und zwar, dass man

N

nicht als eine feste Zahl behandeln kann.

Fabienne- aktiv_icon

14:33 Uhr, 07.12.2015

Ja, das ist auch etwas, was ich an der Aufgabenstellung komisch fand, nämlich das die Zufallsvariable als Anzahl der Elemente bezeichnet wird.

Ich sollte also Eher schreiben:

N= "Anzahl der erzeugten Teilchen"

P (N = n) = \frac{λ^{n}}{n!} e^{- λ}

Dann ist

X \sim B i n (n, p)

mit

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{n} (1 - p)^{n - k}

dies konvergiert laut Vorlesung gegen die Poissonverteilung mit

E (X) = n p

Das kann doch wohl kaum die Lösung der Aufgabe sein, oder doch?

DrBoogie aktiv_icon

15:13 Uhr, 07.12.2015

In der Aufgabe steht " Zeigen Sie, dass X ebenfalls Poisson-verteilt ist".

Du schreibst aber, dass

X

binomial-verteilt ist. Das kann nicht stimmen.

X

ist Poisson-verteilt. Beweise das.

Fabienne- aktiv_icon

23:01 Uhr, 07.12.2015

Das verstehe ich leider nicht.
Ist denn X nicht "erstmal" binomialverteilt und wenn man dann eine größere Anzahl von Versuchen betrachtet, kann man es immer besser durch die Poisson-Verteilung approximieren?

DrBoogie aktiv_icon

23:17 Uhr, 07.12.2015

Du kannst hier gar nicht immer größere Anzahl der Versuche betrachten, Anzahl der Versuche ist eine Zufallsvariable, über welche Du keine Kontrolle hast. Und Approximation hat in dieser Aufgabe nichts verloren.

Du musst einfach bedingte W-keiten nutzen.
Z.B. ist klar, dass

P (X = k ∣ N = n) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

, vorausgesetzt

n \geq k

. (Für

n < k

ist

P (X = k ∣ N = n) = 0

, weil

X

gar nicht größer als

N

sein kann.
Um an den Werte

P (X = k)

zu kommen, musst Du den Satz über totale W-keit nutzen, in unendlicher Version:

P (X = k) = \sum_{n = k}^{\infty} P (X = k ∣ N = n) P (N = n) = \sum_{n = k}^{\infty} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} λ^{n} \frac{e^{- λ}}{n!} = . . .

UPDATE. Ich habe die Formel für die Poisson-Verteilung bei Dir übernommen und sie stimmt nicht.
Jetzt korrigiert.

Fabienne- aktiv_icon

23:26 Uhr, 07.12.2015

Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt ist es klar, was die Aufgabe von mir möchte.

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