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Polygon Flächenberechnung

Universität / Fachhochschule

Tags: Flächenberechnen, Polygon

F0ggy aktiv_icon

12:58 Uhr, 29.07.2023

Hallo zusammen,

Ich bin leider eine absolute 0 in Mathe und kämpfe gerade mit mehreren Aufgaben:

Hintergrund:

Ich möchte mehrere Polygone in GoogleEarth einzeichnen. Das zweite Polygon sollte dann mit einem gleichbleibenden Abstand in dem ersten Polygon eingefügt werden.

Bsp.: 1 Polygon hat eine Größe von 50 km2 das zweite innenliegende Polygon soll jetzt so skaliert werden, dass bspw. Ein Abstand von jeder Seite á 100m sind.

Ist sowas mathematisch berechenbar ?

Vielen Dank im Vorraus für eure Mithilfe

Grüße

Flo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HJKweseleit aktiv_icon

13:42 Uhr, 29.07.2023

Es wird (wieder mal, wie bei vielen Fragen hier) nicht klar, was du berechnen willst. Den Inhalt der neuen Fläche bzw. die Kantenlänge? Oder wie man das Quadrat zeichnerisch so einfügt, dass die Ränder alle gleich breit werden? Oder wie man einen Eckpunkt findet?

Bei 50

k m^{2}

Flächeninhalt ist die Seitenlänge der Ausgangsfläche

\sqrt{50}

km, also ca. 7,071 km. Bei der Innenkante ziehst du davon links und rechts die 100 m ab, kommst somit auf 6,871 km. Das quadriert gibt dann für die Innenfläche 47,212

k m^{2}

.

Wenn du den Eckpunkt links oben für das Innere Quadrat suchst, gehst du von dort aus diagonal (also

45 °

) mit 100 m

\cdot \sqrt{2}

= 141,4 m schräg nach unten. Dort ist dann die linke obere Ecke.

calc007

14:12 Uhr, 29.07.2023

Hallo
Auch mir geht's so, dass nicht klar wird, was du berechnen willst.
HJKweseleit geht den simpelsten Weg und von einem Quadrat aus, obwohl du mehrfach von einen Polygon sprichst.

Zunächst mal solltest du ja klar machen, ob du von einer zwei-dimensionalen Denke ausgehst, oder von einem 3-dimensional sphärischen, wie es eben für erwähnte GPS, GoogleEarth und Welt-Koordinaten-Systeme denkbar wäre.

Ich ahne mal, für 'Spielereien' wird wohl tatsächlich eher ein 2-dimensional ebener Ansatz angezielt sein.

"Ist sowas mathematisch berechenbar?"
Ja sicher,
aber
um hier sinnvoller antworten zu können, wirst du schon noch verständlicher machen und klarstellen müssen, wie das Polygon aussehen soll.

Roman-22

14:32 Uhr, 29.07.2023

>

"Ist sowas mathematisch berechenbar?"
Wie meinen Vorrednern ist auch mir nicht klar, was genau dieses "sowas" jetzt sein soll.

In jedem Fall ist aber die Angabe "1 Polygon hat eine Größe von

50 k m^{2}

" völlig unzureichend.
Selbst wenn wir, deiner Zeichnung folgend, annehmen, dass das Polygon ein Rechteck sein soll, könnte es ja beispielsweise die Abmessungen

1) 5 k m \times 10 k m

2) 2 k m \times 25 k m

3) 1 k m \times 50 k m

haben.

Die Maße des inneren Rechtecks wären dann

1) 4,8 k m \times 9,8 k m

2) 1,8 k m \times 24,8 k m

3) 0,8 k m \times 49,8 k m

und die zugehörigen Flächeninhalte

1) 47,04 k m^{2}

2) 44,64 k m^{2}

3) 39,84 k m^{2}

Generell könnte das innere Rechteck Flächeninhalte von

0 k m^{2}

bis zu ca.

47,21 k m^{2}

aufweisen, wenn nur bekannt ist, dass das äußere Rechteck eine Fläche von

50 k m^{2}

hat und das innere Rechteck äquidistant im Abstand

100 m

davon liegt.

Also. was genau ist gegeben und vor allem, was genau willst du berechnet haben?
Gehts um Größen/Längen, oder um Koordinaten? Geht es dir um eine planare Rechnung, oder soll die Erdform (als Kugel oder sogar als Geoid) Berücksichtigung finden?

Deinem Threadtitel "Polygon Flächenberechnung" folgend bin ich davon ausgegangen, dass es dir um die Fläche des neuen, inneren Polygons geht. Und die ist, wie schon gesagt, nur auf Basis des Flächeninhalts des größeren Quadrats und dem konstanten Abstand

100 m

nicht angebbar. Da braucht es noch zusätzliche Informationen!

F0ggy aktiv_icon

18:20 Uhr, 29.07.2023

Vielen Dank für die rege Beteiligung und Hilfestellung eurerseits.

Ich versuche mal so gut wie es geht auf eure Anmerkungen einzugehen:

Es geht in GoogleEarth um ein zwei-dimensionalen Projekt, bei diesem das Innenliegende Polygon in einem bestimmten prozentualen Abstand kleiner skaliert werden soll.

Mir geht es Anhand einer Formel herauszufinden, wie das kleinere Polygon im Inneren skaliert werden soll, um an jeder Seite (im Beispiel

100 m)

Abstand zu haben.

Die Werte des erst gezeichneten Polygons sind hierbei bekannt (Fläche, Länge)

Roman-22

20:14 Uhr, 29.07.2023

Es wird leider nicht viel klarer, außer dass nun die Erdkrümmung sicher vom Tisch ist.

Es scheint, dass dir nicht klar ist, dass zwar jedes Rechteck ein Polygon ist, aber keinesfalls jedes Polygon ein Rechteck. Meinst du also wirklich ein allgemeines Polygon?

Du erklärst wieder, dass die innere Figur quasi eine Parallelkurve zur äußeren sein soll - die Seiten des inneren Polygons also überall gleichen Abstand zum äußeren haben sollen.
Dann schreibst du aber "bei diesem das Innenliegende Polygon in einem bestimmten prozentualen Abstand kleiner skaliert werden soll."
Das ist ein Widerspruch! Das innere Polygon ist nicht ähnlich zum äußeren, entsteht also nicht durch irgend eine prozentuelle Skalierung. Ausmahmen sind Figuren wie zB ein Quadrat.

Wenn du ein Blatt Papier mit zB Seiitenlängen

20

\times 30

cm vor dir hast (mit den Maßen gehts einfach zu beschreiben als mit

21 \times 29,7)

und du zeichnest rundum einen Rand von 5 cm, dann entsteht innen ein Rechteck mit den Maßen

10

\times 20

cm.
Während das ganze Blatt also ein Seitenverhältnis von

2 : 3

hat, hat das inner Rechtecke ein Seitenverhältnis von

1 : 2

. Somit sollte klar sein, dass es nicht durch "prozentuelle Skalierung" aus dem äußeren Rechteck hervorgehen kann!
Wenn du das äußere Rechteck tatsächlich skalierst, zB auf

60 %

(bzgl der Längen), dann entsteht ein Rechteck mit

12

\times 18

cm und bei zentrierter Anordnung wird da links und rechts ein Rand von 4 cm bleiben, oben und unten aber ein Rand von 6 cm

Du hast also die Wahl zwischen prozentueller Skalierung oder konstanten Abstand zum äußeren Polygon. Bis auf spezielle Ausnahmen kannst du aber nicht beides haben!

>

Mir geht es Anhand einer Formel herauszufinden, wie das kleinere Polygon im Inneren skaliert werden soll, um an jeder Seite (im Beispiel

100 m)

Abstand zu haben.
Tja, gar nicht, weil das eben nicht beides geht.

Wenn dein äußeres Polygon ein Rechteck mit den Längen a und

b

ist, dann ist das innere Rechteck eines mit den Seitenlängen

a - 2 \cdot 100 m

und

b - 2 \cdot 100 m

F0ggy aktiv_icon

23:05 Uhr, 29.07.2023

Danke für die "bildliche Vorstellung" Roman. War ein gutes Beispiel.

Dann werde ich wohl oder übel das zweite und dritte innenliegende Polygon mit Schnittpunkten bestimmen müssen.

Danke dir/euch für die schnelle und ausführlichen Antworten!

Roman-22

02:51 Uhr, 30.07.2023

>

Dann werde ich wohl oder übel das zweite und dritte innenliegende Polygon mit Schnittpunkten bestimmen müssen.

Schnittpunkte? Du sprichst in Rätseln! Und es immer immer nicht klar, worum es dir letztlich ging.

HJKweseleit aktiv_icon

11:24 Uhr, 30.07.2023

Aus deiner Bemerkung "prozentual" schließe ich, dass du so etwas wie zoomen möchtest. Dabei bleiben die Kanten des neuen Polygons parallel zu den alten und somit alle Winkel erhalten, es gibt auch keine Verzerrungen, du bekommst eine Vergrößerung oder Verkleinerung des ursprünglichen Polygons.

Vorgehen:

Du brauchst einen festen Punkt S, der beim Zoomen nicht bewegt wird ("Steckzentrum").
Von diesem Punkt aus ziehst du zu jeder Ecke des Polygons eine gerade Linie (Strecke).
Dann brauchst du den Streckfaktor v: Ist er größer als 1, wird das neue Polygon gößer, liegt er zwischen 0 und 1, kleiner.

Beispiel: v=0,8 (s. Bild).

Du markierst auf jeder Strecke (grün) den Punkt (blau), der 80 % der ursprünglichen Streckenlänge von S (rot)entfernt ist. Diese Punkte verbindest du nun miteinander durch Strecken, die parallel zu den ursprünglichen Kanten sind. Wie du siehst, sind die Abstände zu den bisherigen Kanten ganz verschieden, das liegt daran, dass S nicht in der "Mitte" (wo soll das sein?) der Ausgangsfigur liegt.

Roman-22

14:00 Uhr, 30.07.2023

Wir wissen ja noch immer nicht, ob tatsächlich ein allgemeines Polygon gemeint ist, auch wenn das mittlerweile offenbar obsolet ist ;-)

>

das liegt daran, dass

S

nicht in der der Ausgangsfigur liegt.
Nein, es gibt gar keine Lage für

S,

welche das leisten könnte!
Ein verkleinerte, ähnliche Ausgabe des Ursprungspolygons kann überhaupt nicht so positioniert werden, dass die Abstände entsprechender Seiten alle gleich groß wären.
Oder anders formuliert, wie auch oben schon geschrieben - das Polygon, welches entsteht, wenn man Parallelen zu allen Kanten im gleichen Abstand zieht, ist

i . a

. nicht zum Ausgangspolygon ähnlich. Es kann daher auch nicht durch zentrische Streckung/Stauchung aus diesem gewonnen werden - egal wo man das Streckzentrum

S

auch wählt.

>

"Mitte" (wo soll das sein?)
Nun, für ein Rechteck ist ein "Mittelpunkt" ja eindeutig im Schnitt der beiden Diagonalen definiert. Dennoch liefert wie oben anhand eines Beispiels schon erklärt, eine Stauchung mit diesem Zentrum eben auch nicht das gewünschte Ergebnis (sofern das Rechteck nicht ein Quadrat ist).

HJKweseleit aktiv_icon

16:44 Uhr, 30.07.2023

Na ja, Kreis, reguläres n-Eck, regulärer Stern können so gestaucht werden, dass die Parallelenabstände zu den Ausgangsseiten überall gleich sind.

Roman-22

17:41 Uhr, 30.07.2023

>

Na ja, Kreis, reguläres n-Eck, regulärer Stern können so gestaucht werden, dass die Parallelenabstände zu den Ausgangsseiten überall gleich sind.

Ja klar gibts Sonderfälle! Aber genau deshalb hatte ich ursprünglich ja auch geschrieben, dass der Fragesteller bis auf spezielle Ausnahmen nicht beides haben kann, eben den konstanten Parallelenabstand und die Ähnlichkeit.
Als konkretes Beispiel für so eine Ausnahme hatte ich nur das Quadrat angeführt, da ja die starke Vermutung bestand, dass der Fragesteller mit "Polygon" nur ein Rechteck meinte - eine Unklarheit, die trotz mehrmaligem Nachfragens nicht ausgeräumt wurde. Wie ja auch generell unklar blieb, was der Fragesteller eigentlich berechnet haben wollte, denn er titelt den Thread mit "Flächenberechnung" und gibt ursprünglich nur die Fläche des "Polygons" als bekannt an, erweckt aber zuletzt mit der Bemerkung, das innere Polygon mit Schnittpunkten ermitteln zu müssen, den Eindruck, dass es ihm mehr um die Koordinaten der inneren Figur ging.
Vermutlich (gefolgert aus dem Bild, das er beifügte) geht es ja um die Fliegerei und die Bestimmung der Flight Geography nach Abzug von Ground Risk Buffer

S_{G R B}

und Contingency Volume

S_{C V}

.

Wie auch immer, der Fragesteller hat seinen Denkfehler offenbar erkannt und weiß nun, dass im allgemeinen das Polygon, dessen Seiten überall gleichen Abstand zu jenen des Ausgangspolygons haben, leider NICHT durch simple Skalierung erzeugt werden kann.

F0ggy aktiv_icon

18:45 Uhr, 30.07.2023

Also die Fläche von dem äußeren Polygon ist bekannt, da es sich um einen "abgesteckten" Rahmen um ein Gelände zieht.

Das es es mit einer potenzialen Verkleinerung nicht klappt, habe ich Anhand von deinem Beispiel sowie auch einer Praxis-Erfahrung machen können (Bild

1)

.

Die Idee mit dem Innenliegenden Steckzentrum finde ich ebenfalls sehr gut. Dafür müsste ich allerdings die Mitte finden wenn ich das richtig verstanden habe.

Zum Thema Schnittpunkte habe ich das Bild 2 angehängt, um (nicht-mathematisch-und-umständlich) das Polygon in der Mitte mittels Schnittpunkten (Abstand

100 m)

von dem äußeren Polygon zu bestimmen.

Roman-22

19:11 Uhr, 30.07.2023

Somit ist immerhin geklärt, dass es sich tatsächlich um ein beliebiges Polygon handeln soll.

>Die Idee mit dem Innenliegenden Steckzentrum finde ich ebenfalls sehr gut. Dafür müsste ich allerdings die Mitte finden wenn ich das richtig verstanden habe.
Nein!! Gerade weil ich vermutete, dass diese irreführende Nebenbemerkung von HJKweseleit genau diese Hoffnung wecken könnte, habe ich diesbezüglich geantwortet. Fakt ist, dass bis auf einige spezielle Polygone mit besonderen Symmetrien KEIN allgemeines Polygon mittels Streckung in das von dir gesuchte übergeht.

Du bildest das innere Polygon offenbar als Hüllkurve aller Kreise mit Radius = gewünschter Abstand und Mittelpunkt auf der äußeren Figur.
Nicht ganz klar ist, wie du bei den ausgewählten Kreisen jeweils zu den rot markierten Punkten gelangst, womit du also den jeweiligen Kreis schneidest. Vermutlich mit der Normalen zur äußeren Begrenzung durch den Kreismittelpunkt.

Wenn die äußere Figur ein Polygon ist oder ausreichend gut durch ein solches angenähert werden kann, ist es möglicherweise berechnungstechnisch einfacher, zu jeder Polygonseite die Gleichung der Parallelen im gewünschten Abstand aufzustellen (da gibts zwei Möglichkeiten, von denen dann die richtige, "innere" zu wählen ist) und dann je zwei dieser Geraden zu schneiden, um die Koordinaten der Ecken des inneren Polygons zu erhalten.

Es ist immer die Frage, was genau gegeben ist, welche Methoden am einfachsten zur gewünschten Lösung führt.
Kennt man Beispielsweise den Winkel

φ

zwischen zwei Polygonseiten, kann man sich überlegen, dass der zugehörige Eckpunkt des inneren Polygons auf der Winkelsymmetrale im Abstand

\frac{d}{sin (\frac{φ}{2})}

liegt, wenn

d

der geforderte Abstand der Parallelen ist.

Eine meiner Meinung recht praktikable Methode, den Eckpunkt

B'

des inneren Polygons zu ermitteln, wenn man vom äußeren Polygon die aufeinander folgenden Eckpunkte

A, B

und

C

kennt ist wie folgt:

{\vec{v}}_{1} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |}

{\vec{v}}_{2} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}

\vec{O B'} = \vec{O B} - \frac{{\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2}}{| {\vec{v}}_{1} + \vec{_} v 2 |} \cdot \frac{d \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{1 + v_{1} \cdot v_{2}}}

Dabei ist

\vec{A}

B)

der Einheitsvektor in Richtung von A nach

B

und die Multiplikation mit

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

von links dreht diesen Vektor um 90° im Gegenuhrzeiersinn.
Dabei werden bloß die beiden Komponenten vertauscht und bei der ersten das Vorzeichen geändert, sodass zB aus

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

der Vektor

(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix})

wird.

d

ist natürlich der gewünschte Abstand der Parallelkurven.
Bei dieser Methode ist das "Innere" immer links des Weges. Durchläuft man die Polygonpunkte also im Gegenuhrzeigersinn, erhält man das innere Polygon im Abstand

d,

durchlaäuft man dasselbe Polygon aber im Uhrzeigersinn, dann liefer der Vorgang das äußere Polygon im Abstand

d

.
Hier ein Beispiel, bei dem auch gleich die Flächeninhalte der Polygone berechnet wurden, dann dafür gibt es auch eine einfache Formel, die nur die Koordinaten der Eckpunkte benutzt:

Natürlich können sich auch "seltsame" Effekte wir hier beim inneren Polygon einstellen - gleiche Angabe, nur jetzt

d = 7

anstelle von

d = 2

Allerdings dürften für deinen Anwendungszweck die Pufferbreiten im Verhältnis zur Polygongröße so gering sein, dass ein solcher Effekt eher nicht zu erwarten ist.

Gerade auch bei einem Polygon ähnlich dem vom dir gezeigtem Zwölfeck sieht man recht deutlich, dass das innere Polygon keinesfalls eine zentrische Ähnlichkeit zum äußeren Polygon aufweist - da gibts keine "Mitte", mit der das vl doch funktionieren könnte:

P . S . :

Ich nehme an, deine Frage bezieht sich auf dieses PDF
www.lba.de/SharedDocs/Downloads/DE/B/B5_UAS/Leitfaden_FG_CV_GRB.html

HJKweseleit aktiv_icon

13:37 Uhr, 31.07.2023

Tut mir leid, wenn ich durch meine Bemerkung

"...das liegt daran, dass S nicht in der "Mitte" (wo soll das sein?) der Ausgangsfigur liegt"

Verwirrung gestiftet habe. Sie sollte gerade klarstellen durch "(wo soll das sein?)", dass es im Allgemeinen keine Mitte gibt, nur in Sonderfällen.

Fazit: Entweder, du entscheidest dich für gleiche Abstände, dann ziehst du einfach Parallelen zu den bestehenden Kanten im gewünschten Abstand, oder du möchtest eine Figur, die eine Verkleinerung/Vergrößerung der Ausgangsfigur unter Beibehaltung der Proportionen darstellt, dann gehst du den von mir beschriebenen Weg. In speziellen Fällen kann beides übereinstimmen.

Im zweiten Fall gilt: Ist v der Streckfaktor, dann ändert sich der Flächeninhalt mit Faktor

v^{2}

.
Beispiel: v=0,8, Ausgangsfläche = 50

k m^{2}

, dann ist die neue Fläche 50

k m^{2} \cdot 0, 8^{2} = 32 . k m^{2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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