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Polygon Mittel-/ Schwerpunkte
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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Ich habe die Frage nach dem Mittel- bzw. Schwerpunkt eines Polygons versehentlich gelöscht. Mangels Rechten kann ich den Thread nicht wiederherstellen. Daher reime ich mir den Inhalt / Verlauf des Threads nochmal zusammen... Die Aufgabenstellung ist / war für mich immer noch nicht klar... (1) Ist ein endliches Polygon nicht geschlossen, d.h. eine Kette von Strecken, die keine Fläche beranden, so besitzt es eine Länge, deren Hälfte man als Mittelpunkt bezeichnen könnte. Von einem Schwerpunkt zu sprechen, ist fahrlässig, denn bei gleicher Massenverteilung entlang des Polygons müsste es im Gleichgewicht bleiben, unterstellt man in diesem ´Mittelpunkt´ eine Gleichgewichtssituation... (2) Dieser Fall betrifft ein Polygon als Rand einer Fläche und man interessiert sich für den Schwerpunkt dieser Fläche. Eine solche Fläche kann mehrfach zusammenhängend sein... - Der hier einfachste Fall betrifft einfach zus.hängende, geschlossene Polygone. [1] Vielleicht wird in der Schule auch der Polygonzug als Näherung der Kurvenlänge irgendeiner Funktion f hergenommen und man sucht eine (Integral)-Darstellung dieser Kurvenlänge... Jedenfalls sollte sich der TO NOCHMALS genauer (ggfs. mit orig.Aufgabenstellung) äussern. -Steele- ____________________ PS.: Nochmal *sorry* an den TO und ´x´, deren Beiträge ins virtuelle Nirwana entschwanden. [1] www.mcgods.de/fun/d/doc/CentroidalVoronoi/node62.html [2] www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de~cg/2002/skript/node34.html |
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Meine Frage mit einem Beispiel noch einmal ganz simpel gestellt: Wir haben ein 7-Eck. Wie finde ich die koordinaten Herraus des Schwerpunktes des 7-Ecks. Ich hoffe das war nicht zu simpel:). |
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anonymous 12:55 Uhr, 28.03.2007 |
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Hallo, vielleicht gibt es eine einfache Formel dafür, aber die fällt mit gerade nicht ein. Meine Lösung wäre begreifbar, für alle ebenen Polygone anwendbar, ist aber rechenaufwendig: Man sucht sich einen beliebigen Punkt im inneren des Polygons und kann von diesem Punkt das Polygon triangulieren. d.h. dieser Punkt bildet mit zwei "benachbarten" Polygonecken ein Dreieck. Je nachdem, ob das Polygon überschlagen ist oder nicht, wird es Dreiecke geben die innerhalb liegen und Dreiecke die innerhalb und außerhalb liegen. Bei nicht konvexen Polygonen (nur dann kann es zu letzterem Fall kommen) muß man anders vorgehen. Jetzt hätte man mit den Koordinaten dieser 8 Punkte 14 Streckenlängen zu ermitteln: 7 Außenkanten des Polygons und 7 Verbindungen der Eckpunkte zu dem inneren Punkt. Mit diesen 14 Seitenangeban kann man die 7 Flächen berechnen. Dazu benutzt man eine spezielle Dreiecksflächenformel, die nur die Seitenlängen des Dreiecks enthält (Fläche des i-ten Dreiecks mit den seitenlängen a_i, b_i und c_i): A_i = 1/16*(a_i^2 + b_i^2 + c_i^2)^2 - 1/8*(a_i^4 + b_i^4 + c_i^4)) Zuletzt berechnet man den Schwerpunkt der Dreiecke (Koordinatenweise Berechnung, wobei die x_a_i, y_a_i, ... die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks sind, d.h. 2 Polygoneckpunkte und der Punkt im inneren. Diesen wird wie in Dreiecken üblich die Bezeichnung A, B und C gegeben.): x_s_i = 1/3*(x_a_i + x_b_i + x_c_i) y_s_i = 1/3*(y_a_i + y_b_i + y_c_i) Zum Schluß muß man die Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks mit der Fläche des Dreiecks wichten und das Ergebnis durch die Fläche des Polygons teilen: x_s = 1/A * SUMME(i=1 ; n ; A_i*x_s_i) y_s = 1/A * SUMME(i=1 ; n ; A_i*y_s_i) Ist das Polygon nicht konvex, findet man vielleicht einen Punkt so, daß alle Dreiecke nur innerhalb liegen und kann genauso arbeiten wie eben. findet man diesen Punkt nicht, dann würde ich solche Eckpunkte zunächst eliminieren und die benachbarten Punkte solche Punkte verbinden. Das ganze so lange, bis die entstandene Figur den Anforderungen genügt. Jetzt berechnet man aber den Schwerpunkt der Gesamtfigur. Dann berechnet man den Schwerpunkt der zusätzlich dazugenommenen Polygone (im Idealfall Dreiecke) und deren Fläche und macht die Rückrechnung: x_s_g = 1/A_g * (A_p*x_p + A_e*x_e) A_g*x_s_g = A_p*x_p + A_e*x_e A_p*x_p = A_g*x_s_g - A_e*x_e x_p = 1/A_p * (A_g*x_s_g - A_e*x_e) wobei die Indizes p für das nicht konvexe Polygon, g für das konvexe Gesamtpolygon und e für die Ergänzung vom nichtkonvexen Polygon zum konvexen Gesamtpolygon stehen. Das muß man dann für jede Ergänzung machen. Bei konvexen Polygonen kann man eine Erleichterung finden: Man wählt als den inneren Punkt einen der Eckpunkte. Damit hat man nur noch 6 Dreiecke (das 7. Dreieck ist zu einem Punkt entartet) und man hat nur noch 11 Seiten (die 3 Dreiecksseiten des Nulldreiecks sind halt Null lang). Eine Erleichterung, aber immer noch viel Arbeit. Wie gesagt, vielleicht geht es leichter, aber so geht es wenigstens! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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