Hallo,
am besten nutzt man die beiden Hinweise:
1.) Die Lsg ist ein Polynom
2.) Der Grad des Polynoms kann hoechstens 1 sein
Beweisen wir zuerst 2.)
Sei das Loesungspolynom p von der Form cx^n+... (es interessiert mich momentan nur das x mit der groessten Potenz), c ungleich 0. Dann kommst Du auf:
p' = (1-x+x²) + (1-2x)p + p²
ncx^(n-1) = 1-x+x² - 2cx^n+... + c^2x^(2n)+...
Die Punkte stehen fuer die anderen Terme, die momentan aber nicht wichtig sind.
Links hast Du nun x^(n-1) stehen und rechts x^(2n) als groesste Potenz. Nehmen wir nun an, n sei mindestens 2. Dann ist x^(2n) mindestens x^4. Da auf der rechten Seite nur Summen stehen, koennte man dieses x^4 nur wegkriegen, wenn es noch ein x^4 mit umgedrehtem Vorzeichen gaebe. Aber alle anderen Potenzen sind kleiner als 2n (fuer n >= 2). Und ncx^(n-1) kann niemals gleich c^2x^(2n)+... fuer alle x sein, egal welches c du waehlst.
Also ist p = cx+b, eventuell mit c=0 oder b=0.
Das setzen wir ein:
(cx+b)' = (1-x+x^2) + (1-2x)(cx+b) + (cx+b)^2
c = 1 - x + x^2 + cx + b - 2cx^2 - 2bx + c^2x^2 + 2bcx + b^2
Nun fassen wir das mal zusammen und kriegen:
0 = (c^2 - 2c + 1)x^2 + (c + 2bc - 2b - 1)x + (1 + b + b^2 - c)
und weiter
0 = (c-1)^2 x^2 + (2b+1)(c-1)x + (b^2 + b - c + 1)
Das sollte nun eigentlich loesbar sein. Und wie immer: besser nochmal nachrechnen, ich vertue mich gerne.
Gruss,
Alex
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