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Polynom 4. Grades mit reellen Koeffizienten

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, polynom

MrVogelkind aktiv_icon

13:44 Uhr, 11.03.2014

Hallo!

Vor ein paar Tagen habe ich schon eine ähnliche Frage gestellt und ich meinte, ich hätte es verstanden, aber jetzt bin ich bei einer Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Sie lautet: Bestimmen Sie jeweils ein Polynom 4. Grades

p (x),

welches den angegebenen Bedingungen genügt.

a .) p (x)

hat die Nullstellen

1,2,3

und

i

b .) p (x)

hat die doppelte Nullstelle 1 und die Nullstelle

1 - i

. Alle Koeffizienten von

p (x)

sind reell.

c .) p (0) = 1, p (1) = 2, p (2) = 17, p (i) = 2

Nun habe ich bei

a .)

einfach den Vietaschen Wurzelsatz angewandt und komme auch auf ein Ergebnis. Dummerweise sind die Koeffizienten aber nicht reell. In der Aufgabenstellung wird ja explizit nach reellen Koeffizienten gefragt. Nun habe ich mir überlegt dass ich vielleicht noch die konjugiert komplexe zu

i

rein nehmen kann. Aber dann habe ich ja 5 Nullstellen. Wie soll ich in diesem Fall den Vieta. Satz anwenden? Ich will ja kein Polynom 5. Grades. Dann habe ich bei

b .)

folgendes Ergebnis:

x^{4} - 4 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x + 2,

ist das richtig? Bei

c .)

weiß ich nicht so recht wie ich anfangen soll. Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Gruß,
Karl

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

rundblick aktiv_icon

13:56 Uhr, 11.03.2014

\to a

geht nicht mit lauter reellen Vorzahlen
ABER :
die Bemerkung "Alle Koeffizienten von

p (x)

sind reell. " bezieht sich NUR auf Aufgabe

b)!

.. also

. .

\to b

hast du richtig

\to

bei

c

machst du den üblichen Ansatz

p (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

und weisst, dass

b = d

sein muss

löse dann das Gleichungssystem , das du durch Einsetzen der gegebenen Daten bekommst

ok?

MrVogelkind aktiv_icon

15:28 Uhr, 11.03.2014

Klingt alles plausibel. Den Ansatz für

c .)

probiere ich direkt aus, wahrscheinlich kriege ich das jetzt alleine hin. Danke für die Hilfe!

MrVogelkind aktiv_icon

17:20 Uhr, 11.03.2014

Hab noch ein kleines Problem. Hab das Gleichungssystem jetzt aufgestellt, aber komme irgendwie zu keinem Ergebnis (war aber auch noch nie wirklich gut beim Auflösen von GSen). Bin jetzt bei folgendem Gleichungssystem:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 0 \\ - i & - 1 & i & 0 \end{matrix})

Nach einigen Schritten Umformung meine "Lösung":

(\begin{matrix} 8 i & 8 i & 8 i & 0 \\ 0 & 8 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 12 + 8 i & 0 \end{matrix})

Das heißt ja, dass

(12 + 8 i) \cdot c = 0

ist, was soll ich damit anfangen?
Habe das Gefühl etwas falsch gemacht zu haben...

Bummerang

17:33 Uhr, 11.03.2014

Hallo,

geht es nicht um ein Polynom 4-ten Grades, da würde ich wegen der 5 Koeffizienten schon mal 5 Spalten erwarten. Jetzt ist vielleicht die letzte Spalte weggelassen worden, weil ja

p (0) = 1

und damit

e = 0

ist, aber dann steht die letzte Spalte für das Linearglied und dort kommt

ν

an der Stelle Null auch der Wert Null raus und nicht überall. Und irgendwie gehenmir insgesamt die Funktionswerte ab, da fehlt noch ein Ergebnisvektor. Bitte schreibe doch mal Deinen Lösungsweg komplet auf, das hier ist ohne weitere Angaben nicht verwertbar!

MrVogelkind aktiv_icon

18:05 Uhr, 11.03.2014

Sehr gerne. Also angefangen habe ich mit der Angabe

p (0) = 1

. Daraus folgt, dass

d

für jede Gleichung 1 ist. Nun habe ich mit den weiteren Angaben folgende Gleichungen aufgestellt:

1 + a + b + c + 1 = 2

(für

p (1) = 2)

16 + 8 a + 4 b + 2 c + 1 = 17

(für

p (2) = 17)

1 - i \cdot a - b + i \cdot c + 1 = 2

(für

p (i) = 2)

Nun habe ich bei der ersten Gleichung

- 2

gerechnet und komme auf:

a + b + c = 0

Bei der zweiten rechne ich

- 17

und komme auf:

8 a + 4 b + 2 c = 0

Bei der dritten Gleichung rechne ich

- 2

und komme auf:

- i \cdot a - b + i \cdot c = 0

Daraus stelle ich das Gleichungssystem auf:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 0 \\ - i & - 1 & i & 0 \end{matrix})

\to

(\begin{matrix} - 8 & - 8 & - 8 & 0 \\ 0 & - 4 & - 6 & 0 \\ - i & - 1 & i & 0 \end{matrix})

\to

(\begin{matrix} 8 \cdot i & 8 \cdot i & 8 \cdot i & 0 \\ 0 & - 4 & - 6 & 0 \\ - 8 i & - 8 & 8 i & 0 \end{matrix})

\to

und hier habe ich gerade einen Fehler gefunden :-) aber das ändert nichts an meinem Problem. Soll ich den Gauss noch bis zum Ende durchziehen? Oder reicht das vorerst?

Bummerang

18:21 Uhr, 11.03.2014

Hallo,

ich fasse mal zusammen: Du hast den Leitkoeffizienten 1 gesetzt, weil Du ein von vielen Möglichkeiten finden sollst und Dir taugt gerade die mit Leitkoeffizient 1. Ausserdem hast Du das Absolutglied durch

p (0)

bereits berechnet und damit kannst Du Leitmonom und absolutglied von der rechten Seite abziehen und das ergibt nur noch 3 gesuchte Koeffizienten

(= 3

Spalten) und eine rechte Seite, die immer Null ist (die 4-te Spalte). Jetzt verstehe ich Deine Notation.

Du machst den Gauss irgendwie sehr aufwändig, vor allem schreibaufwändig. So etwas kostet in den Klausuren Zeit, die man anderswo dann nicht mehr hat. Da solltest Du ein effektiveres Verfahren suchen.

Ich habe jetzt nicht selbst gerechnet. Wenn sich bei einem homogenen Gleichungssystem eine dreieckige Koeffizientenmatrix wie bei Dir ergibt, sagt die letzte Zeile, dass der dazugehörige Koeffizient gleich Null ist. Setzt man das in die Zeile davor ein, ergibt sich auch dort ein Koeffizient zu Null. Das geht so weiter und es kommt raus, dass alle Koeffizienten Null sein müssen. Das hieße aber, dass Dein Polynom

x^{4} + 1

heissen muss. Und wenn ich das mal probiere, dann erfüllt das doch die Vorgaben, oder kommt bei Dir da was anderes raus?

MrVogelkind aktiv_icon

18:36 Uhr, 11.03.2014

Dein Polynom scheint richtig zu sein. Danke dafür! Mal vorweg: Ich bin kein Mathe-Student. Ehrlich gesagt verstehe ich nicht viel vom ersten Teil deines Posts. Das Gauss-Jordan Verfahren ist bisher das einzige, das wir gelernt haben und ich denke, man wird das auch von mir haben wollen. Könntest du (oder sonst jemand) ab dem Punkt bis zu dem ich gekommen bin das Gleichungssystem weiter auflösen? Bin gerade irgendwie zu blöd, um das Gleichungssystem hinzubekommen, bzw. es sieht bei mir auf dem Zettel so aus, als wäre es kompletter Unsinn.

Bummerang

18:57 Uhr, 11.03.2014

Hallo,

effektiv ist, erstens nicht stur nach Schema

F

zu arbeiten und ausserdem Zwischenschritte nur dann aufzuschreiben, wenn es

z . B

. wegen der Größe der Zahlen oder wegen Brüchen sonst fehleranfällig wird. Ich rechne mal so, wie ich es machen würde:

1. Die letzte Spalte ist überall Null, Durch Zeilenoperationen wird sich daran auch nichts ändern, also lasse ich sie auch weg, macht eine Ersparnis beim Aufschreiben.

2.

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ - i & - 1 & i \end{matrix})

In der letzten Spalte muss ich maximal mit dem doppelten oder dem i-fachen rechnen, wenn ich die 1 aus der ersten Zeile nehme. Dann ziehe ich die erste Zeile zwei Mal von der zweiten ab und

i

Mal von der letzten:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 0 \\ - 2 \cdot i & - 1 - i & 0 \end{matrix})

Jetzt teile ich die zweite Zeile durch

2,

dann habe ich in der mittleren Spalte die 1:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ - 2 \cdot i & - 1 - i & 0 \end{matrix})

nun nur noch das (1+i)-fache der zweiten Zeile zur letzten addieren:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 + i & 0 & 0 \end{matrix})

Fertig ist der Gauss. Ich habe eine Dreiecksform in einem homogenen LGS, also ist die Lösung für alle Koeffizienten gleich Null. Damit bleiben der errechnete Absolutwert 1 und der von Dir gewählte Leitkoeffizient 1 übrig und das ergibt

x^{4} + 1

rundblick aktiv_icon

20:17 Uhr, 11.03.2014

1) \to p (0) = 1

2) \to p (1) = 2

3) \to p (2) = 17

4) \to p (i) = 2

das sind

f

n f

Informationen für die 5 gesuchten Parameter

a, b, c, d, e \to

p (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

der Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe geht so

\to

1) \to p (0) = 1 ... . .

\Rightarrow e = 1

2) \to p (1) = 2 ... . .

\Rightarrow a + b + c + d + 1 = 2

3) \to p (2) = 17 ... . .

\Rightarrow 16 a + 8 b + 4 c + 2 d + 1 = 17

4) \to p (i) = 2

enthält zwei Informationen

\Rightarrow

\Rightarrow a i^{4} + b i^{3} + c i^{2} + d i + 1 = 2 + 0 \cdot i

also:

\Rightarrow a - b \cdot i - c + d i + 1 = 2 + 0 \cdot i

nun sollte bekannt sein, dass zwei komplexe Zahlen
genau dann gleich sind, wenn sie übereinstimmen im Realteil und im Imaginärteil
also ergeben sich jetzt zwei weitere Gleichungen für die Parameter:

4) \Rightarrow a - c + 1 = 2

5) \Rightarrow - b + d = 0

und damit hat man dann ganz schnell :

p (x) = x^{4} + 1

MrVogelkind aktiv_icon

07:16 Uhr, 12.03.2014

Danke für die Mitarbeit! Ihr habt mir - mal wieder - sehr gut geholfen!

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