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Polynom 4.Grades Rekonstruieren?

Schüler

Tags: 4.Grad, polynom

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18:30 Uhr, 25.03.2019

Hallo zusammen!
Wir machen in der Schule Polynome durch.
Einige von Euch haben mir hier schon sehr gut geholfen, vielen Dank dafür.

Ich habe noch eine Frage zu einer "Rückwärtsberechung" eines Polynoms 4. Grades...

Ein Graph geht durch

P 1 (0; - 8)

. Er berührt die x-Achse bei

x = 4

und hat sonst keine weiteren gemeinsamen Punkte mit der x-Achse. Er ist nach unten offen. Wie lautet die Gleichung?

Meine Überlegungen:
Die Normgleichung 4.-Grades lautet:

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

Bei

P 1

ist

x = 0 \to

eingesetzt als

f (0)

bleibt nur

e

übrig. Also ist

e = - 8

Berührung der x-Achse bei

x = 4

bedeutet, dass

y = 0

ist.
Eingesetzt in

f (x)

also:

0 = 256 a + 64 b + 16 c + 4 d - 8

Aber weiter komme ich nicht... 4 Unbekannte?!
Hilfe bitte...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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18:53 Uhr, 25.03.2019

Berühren:

f (4) = 0

f' (4) = 0

(gleiche Steigung wie x-Achse)

rundblick aktiv_icon

19:00 Uhr, 25.03.2019

.

"Berührung der x-Achse bei

x = 4

bedeutet, dass

y = 0

ist. "

\to

ja - und was bedeutet "berühren" noch ?

\to . .

.

.. und was fällt dir dazu ein :
"und hat sonst keine weiteren gemeinsamen Punkte mit der x-Achse.
Er ist nach unten offen. "

\to . .

.
.

Atlantik aktiv_icon

19:24 Uhr, 25.03.2019

09 : 48

Uhr,

25.03.2019

hast du folgendes geschrieben:

"Was ich weiß:
1-fache Nullstelle = Schnittstelle mit x-Achse
2-fache Nullstelle = Berührstelle mit x-Achse
(3-fache Nullstelle = Sattelpunkt)"

Erweitere dies mal:

4-fache Nullstelle= Berührstelle mit x-Achse->

Also ergibt sich hieraus:

f_{a} (x) = a \cdot {(x - 4)}^{4}

Nun noch

P (0 | - 8)

verwerten und du hast dein Polynom.

mfG

Atlantik

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19:46 Uhr, 25.03.2019

Liebe Hinweisgeber... diesmal verstehe ich Eure wohlegemeinten Hinweise leider überhaupt nicht...

"Berührung der x-Achse bei

x = 4

bedeutet, dass

y = 0

ist. "
→ ja - und was bedeutet "berühren" noch ? →

Wohl, dass das der "obere Scheitelpunkt" ist. Hilft mir aber nicht weiter?

.. und was fällt dir dazu ein :
"und hat sonst keine weiteren gemeinsamen Punkte mit der x-Achse.
Er ist nach unten offen."

Siehe oben

4-fache Nullstelle= Berührstelle mit x-Achse->
Also ergibt sich hieraus: fa(x)=a⋅(x-4)^4
Nun noch

P (0 | - 8)

verwerten und du hast dein Polynom.

Das habe ich nicht verstanden.

Respon

19:54 Uhr, 25.03.2019

"und hat sonst keine weiteren gemeinsamen Punkte mit der x-Achse"
Das schließt nicht aus, dass es "komplexe Nullstellen" gibt ( siehe Grafik ).

"und hat sonst keine weiteren reellen Nullstellen" - hier würde es sich um eine Vierfachnullstelle handeln - siehe Atlantik, genau eine Lösung. Ich nehme an, dass das die naheliegende Lösung ist.

rundblick aktiv_icon

20:12 Uhr, 25.03.2019

.
"Ein Graph geht durch

P 1 (0; - 8)

.
Er berührt die x-Achse bei

x = 4

und hat sonst keine weiteren gemeinsamen Punkte mit der x-Achse.
Er ist nach unten offen. °

@Atlantik :

zu diesem Aufgabentext gibt es nicht (wie du offenbar meinst)
nur eine mögliche Lösung

\to

sondern beliebig viele
zB->

f (x) = - \frac{1}{16} \cdot x^{4} + \frac{1}{4} \cdot x^{3} + \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 8

usw,usw ..
siehe auch Respon - allerdings ist ihre Argumentation mit dem
"Naheliegenden" leicht fragwürdig .. korrekt wäre als Antwort:
diese Aufgabe ist mit den angegebenen Daten NICHT eindeutig lösbar
fertig.
.

Respon

20:15 Uhr, 25.03.2019

"naheliegend" kommt aus dem Stoff der

11

. Klasse ( zumindest bei uns in Österreich ).
Und der Fragesteller geht in die

11

. Klasse.

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20:55 Uhr, 25.03.2019

Danke Euch allen... das mit Klasse

11

ist richtig.... kann mir jemand von Euch bittebitte die nächstliegende, einfachste Auflösung der Aufgabe erläutern? Bei mir geht es zwischenzeitlich nur noch darum, nicht sitzen zu bleiben...

: (

Respon

21:07 Uhr, 25.03.2019

Ein Polynom 4. Grades ( du hast es oben allgemein so angesetzt

a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + . .

. ) läßt sich auch anders darstellen, nämlich

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3}) \cdot (x - x_{4})

Dabei sind

x_{1}, x_{2}, x_{3}

und

x_{4}

die Nullstellen des Polynoms.
Gehen wir davon aus, dass an der Stelle

x = 4

die einzige Nullstelle des Polynoms existiert, dann muss das eine Vierfachnullstelle sein.
Also

x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = 4

Das Polynom läßt sich dann so darstellen

a (x - 4) \cdot (x - 4) \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

und das ist

a \cdot {(x - 4)}^{4}

Also haben wir vorerst

f (x) = a \cdot {(x - 4)}^{4}

Da der Graph der Polynomfunktion durch den Punkt

P_{0} (0 | - 8)

geht, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen.

\Rightarrow

- 8 = a \cdot {(0 - 4)}^{4}

- 8 = 256 \cdot a

a = . .

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09:54 Uhr, 26.03.2019

hiernach wäre

a = - \frac{8}{256} . .

.
Ist das dann auch die gleiche a aus meiner Gleichung? Gilt also, das die gesuchte Gleichung:

f (x) = - \frac{8}{256} \cdot x^{4} - 8

lautet? Kann nicht sein, diese berührt die x-Achse nicht...
Irgendwas habe ich schon wieder nicht verstanden...?

: (

Respon

09:59 Uhr, 26.03.2019

Wir hatten doch

f (x) = a \cdot {(x - 4)}^{4}

a = . .

\Rightarrow

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10:29 Uhr, 26.03.2019

Würde es nicht auch mit meiner ursprüngichen Gleichung funktionieren? Mit dem Absolutglied

- 8

und so?

Respon

10:32 Uhr, 26.03.2019

Nein, das ist mathematisch falsch

- \frac{8}{256} \cdot {(x - 4)}^{4} \neq - \frac{8}{256} \cdot x^{4} - 8

mcadam aktiv_icon

10:39 Uhr, 26.03.2019

Ja, das ist klar. Ich meinte sowas wie in Rundblicks Antwort... Aber egal, ich brauche nur die „Naheliegende „ Lösung.... danke dafür,
Respon, Du bist meine Heldin!

Respon

10:46 Uhr, 26.03.2019

Wenn wir nicht davon ausgehen, dass

x = 4

die EINZIGE Nullstelle ist, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Hoffnungsvoll wie wir sind, wollen wir das aber ausschließen.

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10:48 Uhr, 26.03.2019

Liebe Respon, kannst Du mir bitte noch ganz grob auf die Sprünge helfen, wieso die GRF mit der allgemeinen Gleichung

f (x) a \cdot (x - x 1) \cdot (x - x 2) ...

.
darstellen lässt? Ich kannte nur die andere Gleichung mit der Addition.

Respon

10:55 Uhr, 26.03.2019

Satzgruppe von Vieta ( hast du - vielleich unwissentlich - bei dem Beispiel mit der Substitution angewendet ).

de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta#Verallgemeinerung

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10:57 Uhr, 26.03.2019

Supervielendank!

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