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Polynom in irreduzible Faktoren zerlegen

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Polynome

Ringe

Tags: irreduzibel, polynom, Ring

finley0104 aktiv_icon

10:29 Uhr, 17.08.2020

Hallo,
ich habe da eine Frage, vielleicht könntet ihr mir helfen. Die Aufgabe lautet:

"Stellen Sie das Polynom

f \in K [t]

als Produkt irreduzibler Polynome über den Körper K dar.

K = ℤ_{3}

und

f := [1]_{3} t^{4} + [2]_{3} t^{3} + [1]_{3} t^{2} + [0]_{3} t + [1]_{3} \in ℤ_{3} [t]

wobei [..] die Restklassen darstellen."

Zunächst wäre meine Idee, dieses Polynom auf Nullstellen zu untersuchen. Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob es überhaupt Nullstellen besitzt. Vielleicht könntet ihr mir ja weiterhelfen. Das wäre sehr lieb.

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

10:47 Uhr, 17.08.2020

"Zunächst wäre meine Idee, dieses Polynom auf Nullstellen zu untersuchen. Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob es überhaupt Nullstellen besitzt."

Besitzt keine, was man leicht direkt nachprüfen kann, es gibt ja nur drei Möglichkeiten: [0], [1] und [2].

Also musst du es als Produkt von zwei quadratischen Polynomen aufschreiben und dann die Koeffizienten vergleichen. Dann wirst du schnell sehen, dass das Polynom irreduzibel ist.

Hier kann man so was übrigens online prüfen:
planetcalc.com/8372

finley0104 aktiv_icon

11:41 Uhr, 17.08.2020

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Dennoch verstehe ich nicht so ganz, wie ich das Polynom in quadratische Polynome zerlegen soll. Kannst du mir noch etwas weiterhelfen?

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

13:06 Uhr, 17.08.2020

Du kannst schreiben:

t^{4} + 2 t^{3} + t^{2} + 1 = (t^{2} + a t + b) (t^{2} + c t + d)

mit noch unbekannten Koeffizienten

a, b, c, d

. Dann multipliziert man rechts aus und vergleicht die Koeffizienten bei den gleichen Potenzen links und rechts. Du bekommst z.B.

b d = 1

, woraus

b = d = 1

oder

b = d = 2

folgt. Bei

t

hast du links 0 und rechts

b c + a d

, also

b c + a d = 0

. Und weil

b = d \neq 0

gilt, folgt

c + a = 0

.
Andererseits bei

t^{3}

hast du links

2

und rechts

a + c

, also muss

a + c = 2

sein. Nun kann

a + c

nicht gleichzeitig

0

und

2

sein, daher gibt's so eine Zerlegung

t^{4} + 2 t^{3} + t^{2} + 1 = (t^{2} + a t + b) (t^{2} + c t + d)

nicht. Damit ist

t^{4} + 2 t^{3} + t^{2} + 1

irreduzibel über

ℤ_{3}

michaL aktiv_icon

18:26 Uhr, 17.08.2020

Hallo,

ich finde, dass man schon ein bisschen weiter einschränken kann. Wegen Gauß müssen

b

d

Teiler von 1 sein, d.h. es gilt

b = d = \pm 1

.

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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