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Polynome einer konjugierten komplexen Zahl

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Polynome

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, polynom

lana123 aktiv_icon

10:23 Uhr, 18.02.2019

H a l l o z u s a m m e n,

ich habe folgende Aufgabenstellung vor mir liegen... leider komme ich nicht weiter:

Sei p(x) = a0+a1x+a2x^2+....+anx^n ein Polynom mit reellen Koeffizienten ao,a1,a2....an. Zeigen Sie, dass mit z Element der komplexen Zahlen auch z quer die Gleichung p(x)=0 löst.

Mein Ansatz ist hierzu, dass ich es in lineare Faktoren aufteile.. aber damit bin ich schon ein wenig überfordert.

Es wäre super, wenn jemand von euch einen Lösungsansatz oder eine komplette Lösung hat.
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ermanus aktiv_icon

10:29 Uhr, 18.02.2019

Hallo,
wenn

z

eine Nullstelle des Polynoms ist, hast du die Gleichung

a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots + a_{n} z^{n} = 0

.
Nun bilde das konjugiert Komplexe der beiden Seiten dieser Gleichung.
Bedenke dabei, dass du folgende Rechnregeln für die Konjugation hast:
1.

\overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}

,
2.

\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}

und
3.

\overline{r} = r

für alle reellen Zahlen

r

.
Gruß ermanus

lana123 aktiv_icon

12:00 Uhr, 18.02.2019

Hallo Ermanus,

vielen dank für deine Antwort.
Allerdings habe ich noch ein paar Fragen:

a_{o} - a_{1} z - a_{2} z^{2} - . . . . - a_{n} z^{n} = 0

ist dies die konjugierte komplexe Zahl?
& wenn ja, wie führt man dies weiter?
Ich stehe ehrlich gerade gesagt auf dem Schlauch...

Vielleicht könntest du mir nochmal weiter helfen..
Vielen Dank
Liebe Grüße
Lana

ermanus aktiv_icon

12:23 Uhr, 18.02.2019

Nein, das ist ganz falsch.
Die zu

z

konjugierte Zahl ist

\overline{z}

und nicht

- z

.
Wenn

z = a + b i

gesetzt wird, dann ist

\overline{z} = a - b i

, aber nicht

- (a + b i)

.
Warum gehst du nicht ganz stur vor, so wie ich es dir empfohlen habe:

0 = \overline{0} = \overline{p (z)} = \overline{a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots + a_{n} z^{n} =}

Nun die Summenregel (1.) anwenden:

= \overline{a_{0}} + \overline{a_{1} z} + \overline{a_{2} z^{2}} + \dots + \overline{a_{n} z^{n}} =

Nun die Produktregel (2.) anwenden ...

lana123 aktiv_icon

13:15 Uhr, 18.02.2019

Ich habe mich jetzt nochmal daran versucht..
Anbei findest du ein Foto
Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie Schritt drei funktioniert.
Ist z=r?
Ich glaube ich verstehe das Grundproblem einfach nicht...

Liebe Grüße

lana123 aktiv_icon

13:16 Uhr, 18.02.2019