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Polynomfunktion in Produktform umwandeln ?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Funktionsgleichung

Tags: funktionsgleichung 4. grades bestimmen, Polynomfunktion 4. Grades, Produktform

Mika18 aktiv_icon

18:20 Uhr, 30.01.2016

Hallo miteinander habe eine frage und zwar habe ich eine Funktion

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 4

. Die soll ich in die Produktform bringen. Was mir bekannt ist, ist die Produktform einer Parabel

\to a (x - x 1) (x - x 2) = 0

. Zunächst habe ich die Schnittstellen ausgerechnet mittels Substitution, dabei kam raus

z = 4 \to x 1 = 2

und

x 2 = - 2

. Sprich eine Funktion mit zwei Nullstellen. Anschließend habe ich meine Funktionswert a ausgeklammert

\frac{1}{4} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) = 0

Ja jetzt komme ich nicht mehr weiter wenn ich meine Nullstellen in die Form

a (x - x 1) (x - x 2) = 0

einsetzte komme ich nicht auf die Ursprungsgleichung. Würde mich sehr freuen wenn ihr es mir genau erklären könnt, im Bereich der Binomischen Formel bin ich überhaupt nicht Fit, habe nur das Gefühl das die damit zusammen hängen könnten.

Gruß Mika

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Atlantik aktiv_icon

18:24 Uhr, 30.01.2016

Du hast fehlerhaft beim Ausklammern gerechnet:

\frac{1}{4} \cdot x^{4} - 2 x^{2} + 4 = \frac{1}{4} (x^{4} - 8 x^{2} + 16)

mfG

Atlantik

Mika18 aktiv_icon

18:25 Uhr, 30.01.2016

ja habe es grade verbessern ausersehen durch

16

geteilt anstatt durch

0.25

Mika18 aktiv_icon

18:32 Uhr, 30.01.2016

ja habe es grade verbessern ausersehen durch

16

geteilt anstatt durch

0.25

anonymous

18:45 Uhr, 30.01.2016

Du führst in deiner Funktionsgleichung

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 4

folgende Substitution durch:

x^{2} \to z, x^{4} \to z^{2}

und löst mit den üblichen Verfahren die quadratische Gleichung

\frac{1}{4} z^{2} - 2 z + 4 = 0

.
Du erhälst daraus die Lösung

z_{1,2} = 4

.
Mit der Rücksubstitution erhälst du entsprechend

z = x^{2} = 4

die Lösungen

x_{1} = + 2, x_{2} = - 2

bzw. aus für

z^{2} = x^{4} = 16

die Lösungen

x_{3} = + 2, x_{4} = - 2

. Du siehst, dass

x = 4

eine vierfache Nullstelle ist.
Nach Berechnen der Nullstellen kannst du dann die faktorisierte Form hinschreiben:

\frac{1}{4} \cdot {(x - 2)}^{2} \cdot {(x + 2)}^{2}

.
Das Quadrat gibt jeweils die Vielfachheit an.

supporter aktiv_icon

18:45 Uhr, 30.01.2016

x^{4} - 8 x^{2} + 16

kannst du nach der 2. binom. Formel faktorisieren.

Mika18 aktiv_icon

18:55 Uhr, 30.01.2016

du hast ja praktisch in die Form

a (x - x 1) + (x - x 2)

ein

^2

eingeführt, woran erkennt man das man einen Exponenten hinzufügen muss

anonymous

19:11 Uhr, 30.01.2016

Du siehst, wenn du einmal alles ausführlich hinschreibst, dass die

+ 2

als zweifache Nullstelle auftritt, die

- 2

ebenfalls (das liegt daran, dass in deinem Polynom der eine Term zweiter, der andere vierter Ordnung ist. Im Beitrag zuvor habe ich es etwas falsch geschrieben, die 4 ist natürlich keine vierfache Nullstelle, sondern die die

+ 2,

und die

- 2

sind jeweils doppelte Nullstellen.
Du weißt, dass die Produktform folgende Form hat

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3}) \cdot ...,

wobei

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . .

. die Nullstellen des Polynoms sind.
Wir haben vier Nullstellen hier,

d . h

. die Lösung hat die Form

~ (x - 2) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) \cdot (x + 2)

. Zusammengefasst ergeben sich die Quadrate.
Allgemein kann man die faktorierte Form auch schreiben als

f (x) = a \cdot {(x - x_{1})}^{n (1)} \cdot {(x - x_{2})}^{n (2)} \cdot {(x - x_{3})}^{n (3)} \cdot . .

.
wobei

n (1), n (2), . .

. die Vielfachheiten der Nullstellen

x_{1}, x_{2}, . .

. sind. Das Quadrat ergibt sich also eigentlich aus dem allgemeinen Ansatz, der die Vielfachheiten von Nullstellen mit berücksichtigt.

Mika18 aktiv_icon

19:18 Uhr, 30.01.2016

Okay soweit das jetzt auch verstanden. Fürs Protokoll am ende

{(x - x 1)}^{n}^(1)

wäre das dann zum Beispiel bei

x 1 = 3 {(x - 3)}^{n} (3)

anonymous

19:36 Uhr, 30.01.2016

Deine Notation ist falsch.
Mit

x_{i}

meint man die Nullstellen, der Term

(x - x_{1})

ist Teil der Produktform, die die Nullstellen enthält

(x_{1}

etwa).
Beispiel:

f (x) = x - 3

. Dann ist

x = a = 3

eine (und die einzige) Nullstelle, da

a = 3

die Gleichung

f (x) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0

löst.

a = 3

hat also die Vielfachheit

1,

Notation:

n (a) = 1,

spricht: Die Vielfachheit der Nullstelle a ist 1.

Zweites Beispiel:

f (x) = x^{2} + x - \frac{3}{4}

. Diese Quadratische Funktion hat die Nullstellen

x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = - \frac{3}{2}

. Beide Nullstellen kommen aber einfach vor, die Vielfachheit ist 1.
Man schreibt:

n (x_{1}) = 1, n (x_{2}) = 1,

sodass die faktorisierte Form lautet:

{(x - \frac{1}{2})}^{n (x_{1})} \cdot {(x + \frac{3}{2})}^{n (x_{2})} = {(x - \frac{1}{2})}^{1} \cdot {(x + \frac{3}{2})}^{1}

.

Die Funktion

f (x) = x^{2}

hat eine doppelte Nullstelle bei

x = a = 0

. Deshalb ist

n (a) = 2

und

f (x) = {(x - a)}^{n (a)} = {(x - 0)}^{2} = x^{2}

Mika18 aktiv_icon

19:40 Uhr, 30.01.2016

Super vielen vielen dank habe es alles nochmals durchgerechnet

(Y)

und bin auf mein Ergebnis gekommen

1287019

1286999

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