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Positive Definitheit + invertierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: invertierbar, Positiv Definit

8mileproof aktiv_icon

14:29 Uhr, 07.07.2012

hallo, habe folgende aufgabe, die ich zeigen muss :

a)

Wenn A positiv definit ist, dann ist A invertierbar

also ich habe mir zuerst die definition von positiv definitheit aufgeschrieben:

A heißt pos. definit, wenn A symmetrisch und

\forall v \in ℝ^{n}

{

0} gilt dass

v^{t} \cdot A \cdot v > 0

nun habe ich die Aussage in die abstrakte schreibweise

A \to B

gebracht.

d . h

. ich muss zeigen , dass

\bar{B} \to \bar{A}

also will ich zeigen, dass aus nicht-invertierbarkeit keine posi. definitheit folgt.

nun zu meinem beweis:

Annahmhe

: A

ist nicht invertierbar.
Dann gibt es ein

v \in ℝ^{n}

{

0} mit

A \cdot v = 0

\Rightarrow v^{t} \cdot A \cdot v > 0 \Rightarrow v^{t} \cdot 0 > 0 \Rightarrow 0 > 0

. Widerspruch.

Also ist die Annahme falsch und die Aussage ist wahr.

ist der beweis so korrekt ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:40 Uhr, 07.07.2012

Hallo,

grundsätzlich ja.
Allerdings vermischst du Kontraposition mit einem Widerspruchsbeweis.

Dein Beweis ist mehr ein Widerspruchsbeweis.
Sei

A

positiv definit, d.h. für alle

v \neq 0

v^{t} A v > 0

(*)

Annahme:

A

nicht invertierbar, d.h. es gibt ein

v \neq 0

mit

A v = 0

. Dann gilt aber

v^{t} A v = 0

, was zu (*) im Widerspruch steht.
-----------------------------------------------------------------

Kontraposition weiß um die Möglichkeit, so einen Widerspruch zur Voraussetzung zu machen und beweist nur noch statt

A \Rightarrow B

die äquivalente Aussage

\neg B \Rightarrow \neg A

:

Sei

A

nicht invertierbar, d.h. es gibt ein

v \neq 0

mit

A v = 0

. Dann gilt

v^{t} A v = 0

, also insbesondere NICHT für alle

v \neq 0

v^{t} A v > 0

.

Kontraposition ist also kürzer als ein Widerspruchsbeweis. Er ist auf das wesentliche beschränkt!

Mfg Michael

hagman aktiv_icon

14:42 Uhr, 07.07.2012

Ja, kann man so machen.

Allerdings zeigst du formal nicht eigentlich

\bar{B} \to \bar{A},

sondern du zeigst, dass

\bar{B}

zusammen mit A auf einen Widerspruch führt. Mit anderen Worten: Zu zeigst

A \to B

per reductio ad absurdum. Aber kommt ja alles auf dasselbe heraus, hört sich nur verdrehter an

. .

8mileproof aktiv_icon

14:56 Uhr, 07.07.2012

jawohl!!!! bis auf diesen kleinen schönheitsfehler habe ich wohl den beweis hinbekommen. freut mich.

eine kleine und und eine große frage hätte ich da noch

zuerst die kleine frage: wenn A nicht invertierbar ist, wieso gilt dann

A \cdot v = 0

? hab das im internet irgendwo auf ner seite gefunden und meinen beweis damit gestartet.

jetzt die große frage:

ich hab im anschluss danach eine weitere aussage versucht zu beweisen. hier ist sie:

Wenn

A = T^{t} \cdot T,

wobei

T

eine invertierbare Matrix ist, dann ist A pos. definit.

nun um das zu zeigen, habe ich die kriterien für positive definitheit, die ich auch oben genannt habe(Symmetrie

+ v^{t} \cdot A \cdot v v > 0)

überprüft.
vorher muss ich noch sagen, dass wir in der vorlesung gelernt haben, dass wenn A pos. definit ist, dann hat sie die Form

A = T^{t} \cdot T

. hier war quasi die umkehrung gefragt.
ALso jetz mein beweis:

1)

Symmetrie. zu zeigen

: A = A^{t}

.
laut Vor. gilt

: A = {(T^{t} \cdot T)}^{t} = T \cdot T^{t} = A^{t}

2)

Bedingung

v^{t} \cdot A \cdot v > 0 \forall v \neq 0

. also setze ich ein

v^{t} \cdot (T^{t} \cdot T) \cdot v > 0

. und hier habe ich gesagt, dass

T^{t} \cdot T \neq 0

ist und somit das ganze

> 0

ist. geht das oder ist es zu schwach?

michaL aktiv_icon

15:56 Uhr, 07.07.2012

Hallo,

eine (quadratische) Matrix

A

heißt invertierbar, wenn es eine Matrix

B

gibt, sodass

A B = E

gilt (wobei

E

die zugeh. Einheitsmatrix ist).

Betrachtet man den aus

A

induzierten Vektorraumhomomorphismus

x \mapsto A x

, so ist das offenbar genau dann der Fall, wenn

x \mapsto A x

bijektiv ist. Aufgrund der endlichen Dimension (des Vektorraums, mit dessen Elementen man

A

multiplizieren kann) reicht da aber aus, wenn

x \mapsto A x

injektiv ist (oder surjektiv, das andere folgt jeweils aus der Dimensionsformel).

Nun ist die Abbildung

x \mapsto A x

offenbar genau dann injektiv, wenn es nur (genau) eine Lösung für

A x = 0

gibt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------

Das alles ist BASIC in linearer Algebra. Dort (Lineare Algebra I) werden alle diese Zusammenhänge bewiesen.

Mfg Michael

ZUSATZ:

Beweis von

T^{t} T

positiv definit: Dein Beweis ist tatsächlich schwach; das Argument trifft ja auch auf andere Matrizen zu, deren Produkt mit der Transponierten eben nicht positiv definit ist.

Der wesentliche Teil geht auf folgende beiden Aussagen zurück:
* das Standardskalarprodukt ist positiv definit
*

v^{t} (T^{t} T) v = (T v)^{t} (T v)

, d.h.

v^{t} (T^{t} T) v

drückt eben genau das Standardskalarprodukt bzgl. des Basiswechels

v \mapsto T v

aus.

Mfg Michael

8mileproof aktiv_icon

14:37 Uhr, 08.07.2012

den 2. Teil, also das mit dem basiswechsel verstehe ich leider nicht so ganz.
wieso drückt das den basiswechsel aus?

hagman aktiv_icon

15:05 Uhr, 08.07.2012

Du hast da oben einen Dreher drin, denn

{(X Y)}^{t} = Y^{t} X^{t},

somit unmittelbar

A^{t} = {(T^{t} T)}^{t} = T^{t} T = A

.

Zu

2)

ist einfach

v^{t} T^{t} T v = w^{t} w

mit

w := T v

.
Und bekanntlich ist beim Standardskalarprodukt ja

w^{t} w \geq 0,

und sogar

w^{t} w > 0,

sofern

w \neq 0

.
Kann

w = 0

sein, obwohl

v \neq 0

ist? Nein, denn

T

sollte ja obendrein invertierbar sein!
Aus

v \neq 0

folgt also

w! 00

und somit

v^{t} T^{t} T v = w^{t} w > 0

8mileproof aktiv_icon

17:50 Uhr, 08.07.2012

okay, danke euch beiden. habe es jetzt endlich begriffen.

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