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Potential eines Feldes berechnen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gradient, Partielle Differentialgleichungen, Potential im Vektorfeld

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22:10 Uhr, 14.05.2010

hallo,
auf einem Übungszettel wurden nun Felder eingeführt.
Dazu gab es folgende Aufgabe:
Betrachten Sie die beiden Vektorfelder

{\vec{A}}_{1} (x, y, z) = (- y, x, 0)

und

{\vec{A}}_{2} (x, y, z) = (y, x, 0)

.
Besitzt A1 bzw. A2 ein Potential? Können sie es angeben?

Soweit ich das Verstanden habe, ist das Potential ein Skalarfeld. Der Gradient des Skalarfeldes ergibt das Vektorfeld.
Aber wie genau kann ich das jetzt angeben? Haben die beiden Vektorfelder überhaupt ein Potential, denn sie laufen ja ohne höhe nur in der xy Ebene.

Wäre super wenn mir jemand Starthilfe geben könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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23:17 Uhr, 14.05.2010

Hey,

ist Dir folgender Satz aus der Vektoranalysis bekannt:

rot(grad

U) = 0

?
bzw.

\nabla \times (\nabla U) = 0

?

wobei

U

das Potenzial ist.

Servus

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13:21 Uhr, 15.05.2010

hallo,
mir ist bekannt, dass ein Vektorfeld ein Potential hat, wenn es keine Rotation besitzt.

Ich weiß leider nicht genau wie man das prüft, oder was genau die Rotation ist.
Wie berechne ich also die Rotation?

danke

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13:57 Uhr, 15.05.2010

Hallo nochmal,

habe eben ein sehr informatives Skript gefunden, und ich glaube ich kann die Frage zum Teil beantworten.

die Rotation ist

r o t {\vec{A}}_{1} = ▽ x {\vec{A}}_{1}

.
Als Ergebnis bekomme ich dann:

r o t {\vec{A}}_{1} = ▽ x {\vec{A}}_{1} = (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 1 + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) \neq \vec{0}

{\vec{A}}_{1}

besitzt kein Potential.

r o t {\vec{A}}_{2} = ▽ x {\vec{A}}_{2} = (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ 0 - 0 \\ 1 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = \vec{0}

{\vec{A}}_{2}

besitzt ein Potential.

Stimmt das so?
Wie rechne ich das Potential nun aus?

danke

Rabanus aktiv_icon

21:22 Uhr, 15.05.2010

Hi ! Ja, Deine bisherigen Feststellungen sind richtig.

\vec{A_{2}} =

grad

U = \nabla U

Und jetzt mach'ste mal bitte 'nen bisschen Nabla-Rechnung !
Wie ist der Gradient definiert ?

Servus

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13:16 Uhr, 16.05.2010

meines wissens ist der Gradient dann ein Vektor dessen Koordinaten die partiellen Ableitungen des Potentials sind.

Wie setze ich das dann zu einer Gleichung zusammen, wenn ich die einzelnen Koordinaten integriert habe?

lg

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18:26 Uhr, 16.05.2010

Hallo,
habe einfach mal die einzelnen Komponenten integriert und geschaut ob sich eine Gleichung finden lässt.

\int y d x = y \cdot x + C

\int x d y = y \cdot x + C

\int 0 d z = C

Als Gleichung für das Potential ergäbe sich dann doch

Φ (x, y, z,) = x \cdot y + C (x, y, z)

oder nicht?

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22:22 Uhr, 16.05.2010

Hi,
Ok, der Weg ist erstmal richtig. Aber es muss

z . B

. heißen:

\int y d x = x \cdot y + C (y, z)

usw.

. .

.
Denn die Integrationskonstante

C

ist hier immer eine Funktion von den Variablen, nach denen nicht partiell abgeleitet wurde.
Es ist

: \frac{\partial C (y, z)}{\partial x} = 0

Jetzt betrachte mal:

\int 0 d z = . .

.

und vergleiche mit den bisherigen Ergebnissen !

Servus

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06:50 Uhr, 17.05.2010

die Ergebnise wären dann:

\int y d x = y \cdot x + C (y, z)

\int x d y = y \cdot x + C (x, z)

\int 0 d z = C (x, y)

was genau ist dann an meiner Gleichung falsch? Heißt es einfach nur?

Φ = x \cdot y

Rabanus aktiv_icon

12:37 Uhr, 17.05.2010

Ja, das Potenzial ist

Φ = x \cdot y

plus eine beliebige Konstante

C

Denn der Gradient von

Φ

ergibt das gegebene Vektorfeld !

Servus

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16:37 Uhr, 18.05.2010

okay danke

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