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Potenzielle Energie berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Potentielle Energie

yellowman

10:43 Uhr, 19.05.2023

Hallo, ich habe folgende Aufgabe.
Die Dichte in einer Gaskugel nehme nach dem Gesetz

ρ = ρ_{0} \cdot (1 - \frac{r}{R})

ab. Wie groß ist die potentielle Energie dieser Kugel?

Meine Ideen:

Ich gehe mal davon aus das man mit der Formel E=mgh arbeiten muss. Dabei muss die Masse m noch berechnet werden.

m = \int ρ d V

m = \int ρ_{0} \cdot (1 - \frac{r}{R}) d V

Ich denke mal das man es nach Kugelkoordinaten transformieren muss.

d V = 4 π r^{2} d r

m = \int_{0}^{R} ρ_{0} \cdot (1 - \frac{r}{R}) 4 π r^{2} d r

m = \frac{1}{3} π ρ_{0} R^{3}

E = m g h

mit

h = R

würde ich dann erhalten:

E = \frac{1}{3} π ρ_{0} g R^{4}

mit

g = G \frac{M}{R^{2}}

E = \frac{1}{3} π ρ_{0} G M R^{2}

Passt das? Vielen Dank und liebe Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

11:32 Uhr, 19.05.2023

Hallo
Ein physikalisch ungewöhnliches Dichte-Modell. Aber gut, für eine Matheübung sollte es reichen.

1 .)

Du hast nicht verraten, in welchen Grenzen du deine Kugel betrachten willst.
Gehe ich recht in der Annahme (?):

0 < r < R

2 .)

In
"E=mgh mit h=R"
gehst du davon aus, dass deine gesamte Masse auf der Höhe

R

liegt.
Das hatten wir doch gerade ganz anders angesetzt...

: - (

3 .)

"mit g=G*M/(R^2)"
Da mag ich Anspielungen auf die Newtonsche Gravitations-Gesetze vermuten.

3 . a)

Was soll dann "M" sein?

3 . b)

Passt das wohl zu obiger etwas eigenwillig (unphysikalischer) Dichte-Verteilung???

yellowman

11:37 Uhr, 19.05.2023

HAllo calc007, 1) Ja ich habe angenommen das der Radius r zwischen 0 und R liegt.
2) Ich war mir da auch nicht sicher wie ich weiter machen soll. Oder einfach die Höhe h lassen?

LG Und Danke!

calc007

11:38 Uhr, 19.05.2023

2 .)

Nein, du musst natürlich ein Integral der Energie über die gesamte Höhe bilden.

yellowman

11:48 Uhr, 19.05.2023

Das heißt dann

E = \int_{0}^{R} m g h d h

oder wie?

Dann erhalte ich:

E = \frac{1}{2} m g R^{2}

und mit m eingesetzt:

E = \frac{1}{6} π ρ_{0} g R^{5}

g = G \frac{M}{R^{2}}

habe ich aus dem Gravitationsgesetz und der Gewichtskraft abgeleitet. M ist dabei die Masse der Kugel und R der Radius.

Passt das jetzt?

HAL9000

12:04 Uhr, 19.05.2023

Eine generelle Frage: Potentielle Energie IN WELCHEM POTENTIALFELD?

Den Diskussionen nach geht es stets um das Schwerefeld der Erde (also deren Gravitationsfeld). Ist das sicher? Ich versuch mir gerade vorzustellen, wo es da eine derartige Gaskugel mit einer solchen radialsymmetrischen Masseverteilung geben könnte...

Wenn ich allerdings an die Gaskugeln denke, die manche Planeten (Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun darstellen, dann geht es ja vielleicht in diesem Zusammenhang um irgendwelche potentiellen Energien...

calc007

12:52 Uhr, 19.05.2023

Auch ich hatte ja schon angemerkt, dass das wohl nicht so recht in physikalischem Zusammenhang zu suchen ist, sondern eher als rein theoretische Matheübung taugt.
Auch ich vermute aus yellowmans primärem Ansatz heraus, dass wir halt mal die Potenziale ausgehend von unserem Kugelmittelpunkt ansetzen wollen, als theoretisches Gebilde, dass jedes Gasmolekül theoretisch auf diesen Kugelmittelpunkt stürzen könnte.

Yellowman, bitte nicht nur mit irgend welchen Buchstaben wirbeln, sondern mach dir auch klar, dass die ja vielleicht auch was bedeuten sollen.
PS: Wenn ich es recht bedenke, ist auch mir nicht klar, was hier die Gravitationskonstante "g" sein soll. Aber lassen wir das

' g'

halt mal als Konstante

' g',

der Mathe ist's egal.

nein
sondern
Energie

E = \int

g*h*dm

= \int

g*r*dm

= . .

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