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Potenzreihe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Konvergenz, Potenzreihe, Taylorreihe

anonymous

18:36 Uhr, 01.01.2016

Hi, ich sollte für meine Funktion

f (x) \frac{1}{1 - x^{2}}

eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 darstellen und habe versucht sie mithilfe der Taylorreihe zu bestimmen. Da wollte ich mal fragen, ob mir jmd. sagen könnte, ob meine Lösung richtig ist.
Außerdem sollte ich bestimmen für welche

x

∈

R

meine Reihe konvergiert. Weiß aber nicht, wie ich da anfangen soll. Könnte mir jmd. weiterhelfen?
1. Potenzreihe bestimmen: Ich habe zuerst in meine Funktion die 0 eingesetzt und die ersten fünf Ableitungen bestimmt und da jeweils immer die 0 eingesetzt:

f (0) = 1

f´(0)=

0 (1

. Ableitung)
f´´(0)= 2
f´´´(0)= 0

f^{4} (0) = 24

f^{5} (0) = 0

\Rightarrow f (x) = f (x 0) +

f´(x0)*(x-x0)+ ((f´´(x0))/(2!)*(x-x0)^2

+ (\frac{f^{3} (x 0)}{3!}) \cdot {(x - x 0)}^{3} + ... .

= 1 + 0 (x - 0) + \frac{2}{2!} \cdot {(x - 0)}^{2} + \frac{0}{3!} {(x - 0)}^{3} + \frac{24}{4!} \cdot {(x - 0)}^{4} + \frac{0}{5!} {(x - x 0)}^{5} + . .

= 1 + 0 x + 1 x^{2} + 0 x^{3} + 1 x^{4} + 0 x^{5} + ...

.

1 habe ich raus, wenn mein

k

gerade ist
0 hab ich, wenn mein

k

ungerade ist
∞
∑

(x^{k})

(Sorry, es müsste

x^{k}

heißen, habe es verbessert)

k = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

19:12 Uhr, 01.01.2016

Die Reihe hast du richtig betimmt, allerdings solltest du, wenn du sie in kompakter Schreibweise mit dem Summenzeichen schreibst, dort auch berücksichtigen, dass nur gerade Potenzen auftreten. Außerdem sind die

k!

ja wohl falsch, denn die kürzen sich ja mit den entsprechenden Faktoriellen, die du beim Ableiten bekommst.
EDIT: Sehe gerade, dass du das schon ausgebessert hast. Trotzdem reicht es nicht, wenn du nur im Text erwähnst, dass du du ungeraden

k

nicht haben willst.

Also

\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{2 k}

Welche Formeln zur Bestimmung des Konvergenzradius sind dir denn geläufig?

Wenn du die vom Quotientenkriterium stammende

r = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

verwenden möchtest, solltest du beachten, dass du hier besser

r^{2} = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 2}} |

benutzt.

Übrigens: Auf die Reihe könntest du auch ohne Taylor durch simple Polynomdivision kommen.

R

abakus

19:18 Uhr, 01.01.2016

Hallo,
ich möchte auch darauf hinweisen, dass der Term

\frac{1}{1 - q}

eine nicht ganz unwesentliche Rolle in einer Formel in Zusammenhang mit geometrischen Reihen spielt...

anonymous

19:31 Uhr, 01.01.2016

Ok, danke.
Konvergenzradius hatte ich leider noch nicht, aber ich habe mal deinen Ratschlag angewendet:

r^{2} = lim

|(an)/(an+2)|=

\frac{x^{2} n}{x^{2 n + 2}} = \frac{x^{2 n}}{x^{2 n + 2}} = \frac{x^{2 n}}{x^{2 n} \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}

lim = \frac{1}{x^{2}} = 0 = r^{2}

n->∞

Wie es weiter geht, weiß ich jetzt nicht.

Roman-22

19:55 Uhr, 01.01.2016

Nein, die

a_{n}

bzw.

a_{n + 2}

sind die Koeffizienten der Potenzen von

x

. Da kommt also kein

x

mehr vor.

Du kannst aber auch die Idee von Gast62 aufgreifen und deine Potenzreihe als geometrische Reihe mit dem Quotienten

q = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = x^{2}

sehen und dir die Frage beantworten, welche Eigenschaft

q

haben muss, damit die geometrische Reihe konvergent ist.

R

anonymous

20:06 Uhr, 01.01.2016

Achso,ok.

Also meine beiden Koeffinzenten sind hier 1

lim

|an/(an+2)|

= 1 = r^{2}

n->∞
Das heißt meine Reihe konvergiert für

x

∈R

/ {1}

Roman-22

20:19 Uhr, 01.01.2016

Nein!

r^{2} = 1 \Rightarrow r = 1 (r

ist immer

\geq 0)

ist richtig.
Aber auch wenn der Begriff Konvergenzradius seine Bedeutung erst so richtig im Komplexen und Mehrdimensionalen offenbart, so wird doch auch bei diesem Beispiel nur ein Bereich um den Entwicklungspunkt damit festgelegt.

Richtig wäre also, dass die Reihe für

x \in] - 1; 1 [

konvergent ist.
Grundsätzlich müsste man sich die Grenzen

x = 1

und

x = - 1

nun gesondert ansehen und die Reihe dort auf Konvergenz untersuchen, aber da die Funktion

f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

an diesen Stellen ja gar nicht definiert ist, erübrigt sich das.

R

anonymous

20:31 Uhr, 01.01.2016

Achso, danke. Ich habe in meinem

x

∈R

/ {- 1,1}

die

- 1

total vergessen, habe an das hoch 2 nicht gedacht. Du hast Recht.

Danke :-)

Roman-22

11:08 Uhr, 02.01.2016

NEIN!!!!!!!!!!!!!!!!
Du hast nicht einfach das

- 1

vergessen.
Du beachtest nicht, dass die Reihe für Werte von

x,

die größer 1 oder kleiner als

- 1

sind NICHT konvergent ist!
Wenn du

ℝ \ {\pm 1}

schreibst, so sind das doch alle reellen Zahlen bis auf die beiden Polstellen

\pm 1

.
Richtig ist aber, dass du nur für

x \in] - 1; 1 [

(vielleicht ist dir die Schreibweise

(- 1; 2)

für das beidseits offene Intervall geläufiger) Konvergenz hast. Das sind also nur die Zahlen ZWISCHEN

- 1

und

+ 1

R

anonymous

12:54 Uhr, 02.01.2016

Ok, danke. Ich habe mich mal besser über Konvergenzradius informiert und das Intervall wird ja bestimmt durch:

(x 0 - r, x 0 + r)

x 0

ist unser Entwicklungspunkt hier:

0 \to 0 - 1, 0 + 1 \to (- 1, 1)

.

Hast Du auch diese Methode angewendet ?

Roman-22

12:58 Uhr, 02.01.2016

Ja, genau so ist es.
Und in meiner vorherigen Antwort sollte es natürlich nicht

(- 1; 2)

sondern, wie du das jetzt ja auch richtig schreibst,

(- 1, 1)

heißen.

Wenn dir das Thema Taylor und Konvergenzradius, etc. so wenig sagt - vielleicht hättest du doch dem Vorschlag von gast62 mehr Beachtung schenken sollen. Wenn du

\frac{1}{1} - x^{2}

als Summe der unendlichen geometrischen Reihe

1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + . .

. siehst, und beachtest, dass geometrische Reihen nur dann konvergent sind, wenn der Betrag des konstanten Quotienten

q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}},

der hier

x^{2}

ist, kleiner 1 ist, kommst du sofort auf

x^{2} < 1

und damit auf

| x | < 1

oder

- 1 < x < 1

für den Bereich, in dem Konvergenz vorliegt.

R

anonymous

13:02 Uhr, 02.01.2016

Du hast mir gestern empfohlen, dass ich statt

r

mit

r^{2}

arbeiten soll. Das habe ich ehrlich gesagt nicht verstanden. Hätte ich auch nicht einfach mit

r

arbeiten können.

anonymous

13:59 Uhr, 02.01.2016

danke :-)

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