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Potenzreihen: Konvergenzradius berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Entwicklungspunkt, Folgen, Konvergenzradius, Potenzreihe, Reihen

flowerpower1234 aktiv_icon

09:44 Uhr, 30.05.2012

Hallo zusammen! Ich möchte den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen berechnen und wollte wissen, was ihr von meinen Rechnungen haltet. Für Korrekturen wäre ich sehr dankbar!

a) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} \cdot \frac{1}{n}

nach Cauchy-Hadamard

r = \frac{1}{lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{\frac{1}{n}})}

\frac{1}{lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt[n]{n}})} = 1

b) \sum_{n = 1}^{\infty} {(n \cdot x)}^{n}

r = \frac{1}{lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n^{n}})} = \frac{1}{lim_{n \to \infty} (n)} = 0

c) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{n \cdot 2^{n}}

r = \frac{1}{lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{\frac{1}{n \cdot 2^{n}}})} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:12 Uhr, 30.05.2012

Hallo,

Deine Lösungen für

a)

und

b)

scheinen mir richtig, für

c)

ist falsch. Die angegebene Reihe hat nicht die Standardform für eine Potenzreihe, auf die der Satz con Cauchy-Hadamard angewandt werden kann. Vielmehr hat sie die Form:

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \cdot x^{k}

mit

a_{k} = \frac{1}{n \cdot 2^{n}},

falls

k = 3 \cdot n

und

a_{k} = 0

sonst.

Dementsprechend ist

{(| a_{k} |)}^{\frac{1}{k}} = {[\frac{1}{\frac{k}{3} \cdot 2^{\frac{k}{3}}}]}^{\frac{1}{k}},

falls

k = 3 \cdot n

und

= 0

sonst...

Du kannst Dein Ergebnis auch direkt mit dem von

a)

vergleichen, denn

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{3 \cdot n}}{n \cdot 2^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot y^{n}

mit

y = \frac{x^{3}}{2}

Gruß pwm

flowerpower1234 aktiv_icon

11:21 Uhr, 30.05.2012

Vielen Dank für deine Antwort!

Wenn du das aus

a)

ableitest, dann kommt man doch auch wieder auf Konvergenzradius

1,

oder?

pwmeyer aktiv_icon

11:39 Uhr, 30.05.2012

Hallo,

aus

a)

folgt: Konvergenz für

| y | < 1

d . h

\frac{| x^{3} |}{2} < 1

Gruß pwm

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