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Potenzreihen, konvergenzbereich, Randbereich

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Konvergenz, leibnitzkriterium, Quotientenkriterium, randbereich

Aprilscherz aktiv_icon

17:23 Uhr, 30.01.2018

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe zu Potenzreihen. Gerade bei der Sache mit dem Randbereich bin ich mir nicht sicher. Und ich würde mich auch freuen, ob mir jemnand sagen könnte ob meine Notation hier halbwegs Formell okay ist.

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe(inkl. Randbereich):

P = 1 + \frac{x^{1}}{4 * 2} + \frac{x^{2}}{4^{2} * 3} + \frac{x^{3}}{4^{3} * 4} + \frac{x^{4}}{4^{4} * 5} + . . .

Meine Lösung:

P = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{4^{n} * (n + 1)}

r = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣

\overset{}{\Leftrightarrow} r = lim_{n \to \infty} \frac{4^{n + 1} * (n + 2)}{4^{n} * (n + 1)}

\overset{}{\Leftrightarrow} r = lim_{n \to \infty} \frac{4 * (n + 2)}{n + 1}

\overset{}{\Leftrightarrow} r = lim_{n \to \infty} \frac{4 n + 8}{n + 1}

\overset{}{\Leftrightarrow} r = \frac{4}{1} = 4

\Rightarrow x = (- 4 ∣ 4)

<- Also das hier nennt man den Konvergenzbereich richtig?

Und nun habe ich das so verstanden, dass ich für den Randbereich nochmal extra für x=-4 sowie für x=4 auf Konvergenz prüfen muss...
Und ich habe das Leibnitzkriterium gewählt, da man glaube ich in diesem Fall mit dem Wurzelkriterium und dem Quotientenkriterium keine Ausage machen kann.

Für x = 4:

∣ a_{n + 1} ∣ < ∣ a_{n} ∣ \Rightarrow K o n v e r g e n z

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{4^{n + 1}}{4^{n + 1} * (n + 2)} < \frac{4^{n}}{4^{n} * (n + 1)}

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{(n + 2)} < \frac{1}{(n + 1)} \Rightarrow K o n v e r g e n z

Für x = -4:

∣ a_{n + 1} ∣ < ∣ a_{n} ∣ \Rightarrow K o n v e r g e n z

\overset{}{\Leftrightarrow} ∣ \frac{(- 4)^{n + 1}}{4^{n + 1} * (n + 2)} ∣ < ∣ \frac{(- 4)^{n}}{4^{n} * (n + 1)} ∣

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{(n + 2)} < \frac{1}{(n + 1)} \Rightarrow K o n v e r g e n z

Fehlt jetzt hier noch etwas Formelles?

Vielen Dank schon mal im Vorraus
Erik :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

17:46 Uhr, 30.01.2018

Bei

x = 4

ist die Reihe divergent. Der Leibnitz ist nicht anwendbar in diesem Fall, da die Reihe nicht alternierend ist.

Roman-22

18:09 Uhr, 30.01.2018

>

x=(−4∣4)<- Also das hier nennt man den Konvergenzbereich richtig?
Da hapert es an der Schreibweise.
Der Konvergenzbereich ist die Menge jener Werte

x,

für die die Reihe konvergiert. Es ist dies ein um den Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

symmetrisches Intervall.
Bis jetzt hast du also erst gezeigt, dass die Reihe für alle

x \in (- 4; 4)

konvergiert. Ob das schon der ganze Konvergenzbereich ist wissen wir erst, wenn wir auch die Grenzen

\pm 4

gesondert untersucht haben.

>

Und ich habe das Leibnitzkriterium gewählt,
Um dieses Kriterium anwenden zu können, muss eine alternierende Reihe vorliegen und das ist für

x = 4

nicht der Fall. Außerdem reicht fallende Monotonie allein nicht. Du musst bei der Untersuchung der Reihe für

x = - 4

auch noch angeben, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden (was hier zwar trivial ist, dennoch aber erwähnt gehört, da dies Voraussetzung für Leibnitz ist).

Für

x = 4

solltest du die divergente harmonische Reihe erkennen.

Konvergenzbereich ist daher das rechts-offene Intervall

[- 4; 4)

Aprilscherz aktiv_icon

15:28 Uhr, 31.01.2018

Okay danke :-)

Das hier wäre dann mein Beweis, für die Divergenz der Reihe für x=4 mit dem Minorantenkriterium.

x = 4

\Rightarrow a_{n} = \frac{4^{n}}{4^{n} * (n + 1)} = \frac{1}{n + 1}

\frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{n} \Rightarrow

Divergenz, da 1/n, die Harmonische Reihe ebenfalls divergiert.

\Rightarrow

Für

x \in [- 4; 4)

konvergiert die Reihe.

Roman-22

22:54 Uhr, 31.01.2018

>

1n+1≤1n⇒ Divergenz, da

\frac{1}{n},

die Harmonische Reihe ebenfalls divergiert.
Der Vergleich ist so gar nicht nötig und würde für

n = 0

ja auch ein kleines Problem bereiten (auch wenns reichen würde, wenn die Beziehung nur ab

n > N

gilt). Außerdem wäre das kein Hinweis auf Divergenz, wenn deine Reihenglieder KLEINER als jene der harmonischen Reihe sind. Diese wäre dann eine divergente Majorante, aber du bräuchtest eine divergente Minorante.

Aber es ist doch viel einfacher:

Deine Reihe ist

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1}

Die bekannt divergente harmonische Reihe ist

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

Mach dir klar (eventuell durch Anschreiben der ersten paar Glieder), dass das nur zwei unterschiedliche Schreibweisen für ein und dieselbe Reihe sind.

Deine Reihe IST also die harmonische Reihe und von dieser darfst du vermutlich die Divergenz als bekannt voraussetzen.

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