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Potenzreihen,Konvergenzradius bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

-Lizzy- aktiv_icon

20:45 Uhr, 18.12.2017

Hallo,

es geht um die folgende Aufgabe:

a)

Bestimmen Sie alle

x \in ℝ,

so dass die Potenzreihe

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n}

konvergiert

b)

Bestimmen Sie alle

z \in ℂ,

so dass die Potenzreihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n^{2}}

konvergiert

a)

hier weiß ich nicht wirklich weiter...
Ich habe versucht, das Leibniz-Kriterium zu nutzen, scheitere aber schon daran zu zeigen, dass

a_{n} = \frac{x^{n}}{n}

monoton fallend ist.
Mit

a_{n + 1} - a_{n} \leq 0

komme ich auf

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

und wenn ich es mit

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq 1

versuche, auf

\frac{x \cdot n}{n + 1}

Bei beiden weiß ich nicht, wie ich den limes bestimmen soll, bzw. sagen soll, ob

a_{n + 1} - a_{n} \leq 0

bzw.

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq 1

gilt, wenn zwei Variablen enthalten sind.
Bei allen Aufgaben, die ich gefunden habe, hat sich

n

rausgekürzt, was bei mir aber nicht der Fall ist.

Zu

b)

habe ich folgendes:

Sei

P (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n^{2}}

. Mit dem Quotientenkriterium gilt:

| \frac{\frac{z^{n}}{n^{2}}}{\frac{z^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}}} | = \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2}} = {(1 + \frac{1}{n})}^{2}

lim {(1 + \frac{1}{n})}^{2} = 1

\to P

hat

R = 1

als Konvergenzradius

\to

An den Grenzen des Konvergenzintervalls ist

P (1) = \sum \frac{1}{n^{2}} < \infty

und

P (- 1) = \sum \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}} < \infty

Stimmt das so für

z \in ℂ

?

Herzlichen Dank schon mal für die Hilfe !

PhantomV aktiv_icon

02:43 Uhr, 19.12.2017

Hi,

die erste Reihe konvergiert nicht überall, deswegen kann man auch nicht zeigen dass die

a_{n}

immer eine monoton fallende Nullfolge bilden. Für welche

x \in ℝ

gilt das denn? Bei der Rechnung für b) ist auch ein

z

weggefallen. Außerdem ist die Grenze des Konvergenzbereichs bei

ℂ

wenn dann ein Kreis und nicht nur zwei Punkte. Was passiert z.B. wenn du

z = i

bei b) einsetzt?

Gruß PhantomV

-Lizzy- aktiv_icon

04:43 Uhr, 19.12.2017

Ich denke bei

b)

müsste es heißen, dass die Reihe für

| z | < 1

konvergiert und für

| z | > 1

divergiert.
Und für

| z | = 1

konvergiert sie absolut,weil

\sum \frac{1}{n^{2}}

konvergiert?

Bei

a)

bin ich immer noch nicht viel weiter, beziehungsweise bin ich mir sehr unsicher, ob man das so machen darf

. .

.

Kann man die Potenzreihe denn aufteilen? Also, dass man erst

\sum \frac{x^{n}}{n}

betrachtet und dann erst mit

{(- 1)}^{n + 1}

?
Weil für

\sum \frac{x^{n}}{n}

weiß man folgendes: Die Reihe divergiert für

x = 1

und konvergiert für

x = - 1

.
Dann ist zu zeigen, dass die Reihe für alle

x \in ℝ

konvergiert, wobei

x \neq 1

.

Man könnte sagen, dass

a_{n} := x^{n}

und

b_{n} := \frac{1}{n},

also dass

\sum \frac{x^{n}}{n} = \sum a_{n} b_{n}

Dann gilt für

N \in ℕ :

\sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{n}}{n} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} x^{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} (\sum_{k = 1}^{n} x^{k}) (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

= \frac{x}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N - 1} x^{n} + x \cdot \sum_{n = 1}^{N - 1} (\sum_{k = 0}^{n - 1} x^{k}) (\frac{1}{n (n + 1)})

= \frac{1}{N} \cdot \frac{x^{N} - 1}{x - 1} + x \cdot \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{x^{n} - 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{n (n + 1)}

= \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{N} - 1}{N} + \frac{x}{x - 1} \cdot \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{x^{n}}{n (n + 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{1}{n (n + 1)}

Und dann könnte ich die drei Terme einzelnd untersuchen? Dann müsste ich darauf kommen, dass

\sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{n}}{n}

konvergiert ..
Und somit sollte dann auch

\sum {(- 1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n}

konvergieren?

pwmeyer aktiv_icon

11:29 Uhr, 19.12.2017

Hallo,

bei

a)

kannst Du genau wie bei

b)

vorgehen. Zunächst bestimmst Du den Konvergenzradius, der wird 1 sein. Dann weißt Du Konvergenz für

| x | < 1,

Divergenz für

| x | > 1

. Dann brauchst Du nur noch den Fall

x = 1

und

x = - 1

untersuchen. (Freundlicherweise war ja bei

a)

nur nach

x \in ℝ

gefragt)

Gruß pwm

-Lizzy- aktiv_icon

12:12 Uhr, 19.12.2017

D . h

. du würdest bei

a)

das Quotientenkriterium nutzen?
Ich bin alle Fälle einmal durchgegangen aber es funktioniert nichts

pwmeyer aktiv_icon

12:14 Uhr, 19.12.2017

Wieso funktioniert nichts?

Zeig mal, was Du gemacht hast.

Gruß pwm

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