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Potenzreihenentwicklung 1/cos x

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Eulersche Zahlen, Folgen und Reihen, Potenzreihenentwicklung, Taylorreihe

NaturSusi aktiv_icon

23:19 Uhr, 30.05.2017

Hallo.

Folgende Aufgabenstellung:
In der Potenzreihenentwicklung

\frac{1}{cos x}

um den Nullpunkt sind die Koeffizienten mit ungeradem Index Null. Wird definiert

\frac{1}{cos x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (\frac{E_{2 n}}{2 n!}) \cdot x^{2 n}

dann sind die

E_{2 n}

die Eulerische Zahlen. Zeigen Sie, dass alle

E_{2 n}

ganzzahlig sind und bestimmen Sie

E_{0}, E_{2}, E_{4}, E_{6}, E_{8}

und

E_{10}

.

Mit ableiten und in die Taylorreihe einsetzen probiere ich es erst gar nicht, natürlich könnte ich aber ich denke, es muss doch einen einfacheren Weg geben.

Nun habe ich schon diverse Lösungswege ausprobiert, nur entweder fehlt mir dann der nötige Schritt um damit überhaupt was anzufangen oder ich weiß nicht wie es weiter geht, ich bitte daher um Mithilfe.

1. Ansatz: Habe

\frac{1}{1 - (cos x + 1)}

gewählt, dann mithilfe der Geometrischen Reihe mit

x = cos x + 1

die Reihe entwickelt. Da kam dann

\sum_{n = 0}^{\infty} {(cos x + 1)}^{n}

raus. Und dann? Wie würde es weiter gehen?

2. Ansatz:

cos x \cdot \frac{1}{cos x} = 1

. Die Taylorreihe von

cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n!}

. Bringt mir das was? Wie könnte ich vorgehen? Habe wo gelesen Koeffizientenvergleich aber mit welchen Koeffizienten genau?

3. Ansatz:

{(\frac{1}{cos x})}^{'} = \frac{sin x}{{cos}^{2} x}

. Ich wüsste die Sinusreihe, die könnte dann gliedweise integrieren, aber mir fehlt doch wieder

\frac{1}{{cos}^{2} x}

. Muss ich die Reihe

{cos}^{2} x

bilden, diese auch integrieren?

Diese Aufgabe verfolgt mich schon seit Wochen und ich komme einfach nicht drauf. Irgendwo befindet sich der Hacken, oder ich denke zu kompliziert. Das kann doch im Allgemeinen nicht so schwer sein?

Ich bitte um Hilfe, Denkanstöße, Lösungsvorschläge.

Vielen lieben Dank.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

23:50 Uhr, 30.05.2017

Hallo
Wenn die Reihenentwicklung des

cos

bekannt ist und genutzt werden darf/kann, dann kann die Polynomdivison ein sehr direkter Weg sein, auf die Schnelle die ersten Koeffizienten zu Papier zu bringen:

\frac{1}{cos (x)} = 1 : (1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^{8}}{8!} - ...)

pwmeyer aktiv_icon

09:35 Uhr, 31.05.2017

Hallo,

Dein 2. Ansatz dürfte das Mittel der Wahl sein. Ansatz:

\frac{1}{cos (x)} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 \cdot n}

mit unbekannten Koeffizienten

a_{n}

. Dann

1 = cos (x) \cdot \frac{1}{cos (x)} = (\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot \frac{1}{(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 \cdot n})

Jetzt kannst Du die rechte Seite ausmultiplizieren und der Reihe nach die Koeffizienten für

x^{0},

dann für

x^{2},

dann für

x^{4} . .

. bestimmen, daraus erhältst Du der Reihe nach die

a_{n}

.

Gruß pwm

DrBoogie aktiv_icon

09:44 Uhr, 31.05.2017

Ich vermute, dass man mit Taylor nicht viel mehr Arbeit hat als mit den anderen Ansätzen.
Die Ableitungen kann man doch sich rechnen lassen. :-)
Z.B. hier: www.ableitungsrechner.net
Geht ratzfatz. :-)

NaturSusi aktiv_icon

13:08 Uhr, 31.05.2017

Herzlichen Dank für die vielen Ratschläge und Hinweise.

@pwmeyer Super! Ich habs verstanden, hat sehr gut funktioniert. Es kommt dann raus für die ersten Glieder

1 + \frac{1}{2!} x^{2} + 5 \cdot \frac{1}{4!} x^{4} + 61 \cdot \frac{1}{6!} x^{6} + 1385 \cdot \frac{1}{8!} x^{8}

Ich habe versucht eine Rekursionsformel für die Koeffizientenbestimmung zu erstellen:

x^{n} : \pm a_{o} \frac{1}{n}! \pm a_{1} \frac{1}{n - 2!} \pm a_{2} \frac{1}{n - 4!} \pm ... \pm a_{n - 1} \frac{1}{2}! \pm a_{n} = 0

\pm

ist alternierend bei

4 n (n = 0,1,2)

beginnt es mit

+

bei

4 n + 2

beginnt es mit -

Soweit so gut, ich könnte jetzt bestimmt alle Koeffizienten einzeln bestimmten. Es kommt eigentlich immer eine ganze Zahl

k

raus multipliziert mit

\frac{1}{2 n!} x^{2 n}

.

Wie kann ich nun eine allgemeine Summenformel schreiben?

\sum_{n = 0}^{\infty} k \cdot \frac{x^{2 n}}{2 n!}

Wie könnte ich aber das

k

ausdrücken? Das entsteht doch, indem sich die Fakultäten wegkürzen.

Vielen herzlichen Dank einstweilen.

Liebe Grüße

pwmeyer aktiv_icon

13:51 Uhr, 31.05.2017

Hallo,

eine explizite Formel für die Eulerschen Zahlen kennt wohl keiner. Es ist nicht ungewöhnlich, dass man bei dieser Division nur endlich viele Koeffizienten berechnen kann und keine allgemeine Lösung der Rekursion bestimmen kann.

Gruß pmw

NaturSusi aktiv_icon

14:21 Uhr, 31.05.2017

Vielen herzlichen Dank.
Endlich geschafft. Dankeschön!

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